正弦定理是三角学中的一个基本定理，下面是查字典数学网整理的正弦定理专项训练，希望对考生复习有帮助。

一、正弦定理变形的应用

1.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为AB∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比ab∶c等于()

A.32∶1 B.∶2∶1

C.∶1 D.2∶∶1

答案:D

解析:A∶B∶C=3∶2∶1,B=2C,A=3C,再由A+B+C=,可得C=,故A=,B=,C=.

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶=2∶∶1.故选D.

3.在△ABC中,A=60,a=3,则等于()

A. B.

C. D.2

答案:D

解析:利用正弦定理及比例性质,得

=2.

二、利用正弦定理解三角形

4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于()

A.4 B.4 C.4 D.

答案:A

解析:B=60,C=75,

A=180-60-75=45.

由正弦定理可得b==4.

故选A.

5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,B=60,那么A=()

A.45 B.135

C.45或135 D.60

答案:A

解析:由正弦定理可得sin A=,但ab,A=60或A=120.

8.在△ABC中,已知a=5,B=120,C=15,求此三角形最大的边长.

解:B=120,C=15,

A=180-B-C=180-120-15=45.

∵B最大,b最大.

由正弦定理,得

b=.

9.在△ABC中,已知a=2,c=,C=,求A,B,b.

解:,sin A=.

∵ca,CA.A=.

B=,b=+1.

三、判断三角形形状

10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

答案:B

解析:bcos C+ccos B=asin A,

由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,

即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,

故A=,故三角形为直角三角形.

故选B.

11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为()

A.直角三角形 B.锐角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

答案:C

解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,

得sin B=2sin Ccos A,

在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

代入上式,可得sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,

即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,

又-b可知B=150不合题意,B=30.

C=180-60-30=90.

7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是.

答案:等边三角形

解析:由正弦定理可将3b=2asin B化为3sin B=2sin Asin B.sin A=.

∵△ABC为锐角三角形,A=.

又cos B=cos C,0b,则B=.

答案:

解析:由正弦定理=2R,

得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=2Rsin B.

由0b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.

9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.

解:由已知得,

由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径),

.

sin Acos A=sin Bcos B.

sin 2A=sin 2B.

又A,B为三角形的内角,

2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.

△ABC为等腰或直角三角形.

10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2,A=30,求ac的值.

解:由正弦定理得

sin B=.

由条件b=6,a=2,知ba,所以BA.

B=60或120.

(1)当B=60时,C=180-A-B=180-30-60=90.

在Rt△ABC中,C=90,a=2,b=6,则c=4,

ac=24=24.

(2)当B=120时,C=180-A-B=180-30-120=30,A=C,则有a=c=2.

ac=22=12.

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