2016-05-24
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算术平均数是统计学中最基本、最常用的一种平均指标,以下是同角三角函数的基本关系式经典例题,请考生及时练习。
1.已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值.
解 ∵sin0
角在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)
(2)若在第四象限,则
说明 在解决此类问题时,要注意:
(1)尽可能地确定所在的象限,以便确定三角函数值的符号.
(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次).
(3)必要时进行讨论.
例2 已知sin=m(|m|1),求tg的值.
(2)当m=1时,的终边在y轴上,tg无意义.
(3)当在Ⅰ、Ⅳ象限时,∵cos0.
当在第Ⅱ、Ⅲ象限时,∵cos0,
说明 (1)在对角的范围进行讨论时,不可遗漏终边在坐标轴上的情况.
(2)本题在进行讨论时,为什么以cos的符号作为分类的标准,而不按sin的符号(即m的符号)来分类讨论呢?你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗?
2.三角函数式的化简
三角函数式的化简的结果应满足下述要求:
(1)函数种类尽可能地少.
(2)次数尽可能地低.
(3)项数尽可能地少.
(4)尽可能地不含分母.
(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.
化简的总思路是:尽可能地化为同类函数再化简.
例3 化简sin2tg+cos2ctg+2sincos
=seccsc
解2 原式=(sin2tg+sincos)+(cos2ctg+sincos)
=tg(sin2+cos2)+ctg(sin2+cos2)
=tg+ctg
=seccsc
说明 (1)在解1中,将正切、余切化为正弦、余弦再化简,仍然是循着减少函数种类的思路进行的.
(2)解2中的逆用公式将sincos用tg表示,较为灵活,解1与解2相比,思路更自然,因而更实用.
例4 化简:
分析 将被开方式配成完全平方式,脱去根号,进行化简.
3.三角恒等式的证明
证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程,即化去形式上的异,而呈现实质上的同,这个过程,往往是从化简开始的这就是说,在证明三角恒等式时,我们可以从最复杂处开始.
例5 求证 cos(2sec+tg)(sec-2tg)=2cos-3tg.
分析 从复杂的左边开始证得右边.
=2cos-3tg=右边
例6 证明恒等式
(1)1+3sin2sec4+tg6=sec6
(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2
分析 (1)的左、右两边均较复杂,所以可以从左、右两边同时化简
证明 (1)右边-左边=sec6-tg6-3sin2sec4-1
=(sec2-tg2)(sec4+sec2tg2+tg2)-3sin2sec4-1
=(sec4-2sec2tg2+tg2)-1
=(sec2-tg2)2-1=0
等式成立.
=sin2A+cos2A=1故原式成立
在解题时,要全面地理解繁与简的关系.实际上,将不同的角化为同角,以减少角的数目,将不同的函数名称,化为同名函数,以减少函数的种类,都是化繁为简,以上两点在三角变换中有着广泛的应用.
分析1 从右端向左端变形,将切化为弦,以减少函数的种类.
分析2由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2,进而可以约分,达到化简的目的.
说明 (1)当题目中涉及多种名称的函数时,常常将切、割化为弦(如解法1),或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类.
(2)要熟悉公式的各种变形,以便迅速地找到解题的突破口,请看下列.
=sec+tg
等式成立
说明 以上证明中采用了1的代换的技巧,即将1用sec2-tg2代换,可是解题者怎么会想到这种代换的呢?很可能,解题者在采用这种代换时,已经预见到代换后,分子可以因式分解,可以约分,而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的,当然,对不熟练的解题者而言,还有如下的一般证法即证明左边-右边=0
左边=右边
同角三角函数的基本关系式经典例题及答案的内容就是这些,查字典数学网希望对考生复习有帮助。
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