2016-05-24
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数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科,从某种角度看属于形式科学的一种,以下是2015-2016湖南高考数学备考专项练习,请考生认真练习。
题型一、定值、定点问题
例1:已知椭圆C:+=1经过点(0,0),离心率为,直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l交y轴于点M,且=,=,当直线l的倾斜角变化时,探求+的值是否为定值?若是,求出+否则,请说明理由。
破题切入点:
(1)待定系数法。
(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y后可得点A,B的横坐标的关系式,然后根据向量关系式=,=。把,用点A,B的横坐标表示出来,只要证明+的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值,否则就不是定值。
解:(1)依题意得b=,e==,a2=b2+c2,
a=2,c=1,椭圆C的方程为+=1。
(2)因直线l与y轴相交于点M,故斜率存在,
又F坐标为(1,0),设直线l方程为
y=k(x-1),求得l与y轴交于M(0,-k),
设l交椭圆A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,
又由=,(x1,y1+k)=(1-x1,-y1),
=,同理=,
+=+=
所以当直线l的倾斜角变化时,直线+的值为定值-。
题型二、定直线问题
例2:在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点。
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;
(2)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由。
破题切入点:假设符合条件的直线存在,求出弦长,利用变量的系数恒为零求解。
解:方法一:
(1)依题意,点N的坐标为N(0,-p),
可设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB的方程为y=kx+p,
与x2=2py联立得:
消去y得x2-2pkx-2p2=0。
由根与系数的关系得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2。
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p
=p=2p2,
当k=0时,(S△ABN)min=2p2。
(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,
AC的中点为O,l与以AC为直径的圆相交于点P,Q,PQ的中点为H,
则OHPQ,Q点的坐标为。
∵OP=AC==,
OH==|2a-y1-p|,
PH2=OP2-OH2
=(y+p2)-(2a-y1-p)2
=(a-)y1+a(p-a),
PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。
令a-=0,得a=,
此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,
其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线。
方法二:
(1)前同方法一,再由弦长公式得
AB=|x1-x2|=2p,
又由点到直线的距离公式得d=。
从而S△ABN=dAB=2p=2p2。
当k=0时,(S△ABN)min=2p2。
(2)假设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,
则以AC为直径的圆的方程为
(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0,
将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,
则=x-4(a-p)(a-y1)
=4[(a-)y1+a(p-a)]。
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3,y3),Q(x4,y4),
则有PQ=|x3-x4|=2。
令a-=0,得a=,
此时PQ=p为定值,故满足条件的直线l存在,
其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线。
题型三、定圆问题
例3:已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12,圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圆心为点Ak。
(1)求椭圆G的方程;
(2)求△AkF1F2的面积;
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由。
破题切入点:
(1)根据定义,待定系数法求方程。
(2)直接求。
(3)关键看长轴两端点。
解:(1)设椭圆G的方程为+=1(a0),半焦距为c,则解得
所以b2=a2-c2=36-27=9。
所以所求椭圆G的方程为+=1。
(2)点Ak的坐标为(-k,2),
S△AkF1F2=|F1F2|2=62=6。
(3)若k0,由62+02+12k-0-21=15+12k0,可知点(6,0)在圆Ck外;
若k0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k0,可知点(-6,0)在圆Ck外。
所以不论k为何值,圆Ck都不能包围椭圆G。
即不存在圆Ck包围椭圆G。
总结提高:
(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关。在这类试题中选择消元的方向是非常关键的。
(2)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m)。
(3)定直线问题一般都为特殊直线x=x0或y=y0型。
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