数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，以下是2015-2016湖南高考数学备考专项练习，请考生认真练习。

题型一、定值、定点问题

例1：已知椭圆C：+=1经过点(0，0)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点。

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l交y轴于点M，且=，=，当直线l的倾斜角变化时，探求+的值是否为定值?若是，求出+否则，请说明理由。

破题切入点：

(1)待定系数法。

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式=，=。把，用点A，B的横坐标表示出来，只要证明+的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值。

解：(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，

a=2，c=1，椭圆C的方程为+=1。

(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，

又F坐标为(1，0)，设直线l方程为

y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，

设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

x1+x2=，x1x2=，

又由=，(x1，y1+k)=(1-x1，-y1)，

=，同理=，

+=+=

所以当直线l的倾斜角变化时，直线+的值为定值-。

题型二、定直线问题

例2：在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p0)相交于A，B两点。

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值;

(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由。

破题切入点：假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解。

解：方法一：

(1)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，

可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y=kx+p，

与x2=2py联立得：

消去y得x2-2pkx-2p2=0。

由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2。

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p

=p=2p2，

当k=0时，(S△ABN)min=2p2。

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

AC的中点为O，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

则OHPQ，Q点的坐标为。

∵OP=AC==，

OH==|2a-y1-p|，

PH2=OP2-OH2

=(y+p2)-(2a-y1-p)2

=(a-)y1+a(p-a)，

PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。

令a-=0，得a=，

此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线。

方法二：

(1)前同方法一，再由弦长公式得

AB=|x1-x2|=2p，

又由点到直线的距离公式得d=。

从而S△ABN=dAB=2p=2p2。

当k=0时，(S△ABN)min=2p2。

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

则以AC为直径的圆的方程为

(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

将直线方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，

则=x-4(a-p)(a-y1)

=4[(a-)y1+a(p-a)]。

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

则有PQ=|x3-x4|=2。

令a-=0，得a=，

此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线。

题型三、定圆问题

例3：已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圆心为点Ak。

(1)求椭圆G的方程;

(2)求△AkF1F2的面积;

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由。

破题切入点：

(1)根据定义，待定系数法求方程。

(2)直接求。

(3)关键看长轴两端点。

解：(1)设椭圆G的方程为+=1(a0)，半焦距为c，则解得

所以b2=a2-c2=36-27=9。

所以所求椭圆G的方程为+=1。

(2)点Ak的坐标为(-k，2)，

S△AkF1F2=|F1F2|2=62=6。

(3)若k0，由62+02+12k-0-21=15+12k0，可知点(6，0)在圆Ck外;

若k0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k0，可知点(-6，0)在圆Ck外。

所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G。

即不存在圆Ck包围椭圆G。

总结提高：

(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关。在这类试题中选择消元的方向是非常关键的。

(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y-y0=k(x-x0)，则直线必过定点(x0，y0);若得到了直线方程的斜截式：y=kx+m，则直线必过定点(0，m)。

(3)定直线问题一般都为特殊直线x=x0或y=y0型。

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