数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果，以下是数学思想方法专题练习，请考生仔细练习。

一、选择题

1.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数m等于()

A.或- B.-或3

C.-3或 D.-3或3

解析 圆的方程(x-1)2+y2=3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径=+m|=2=或m=-3.

答案 C

2.已知函数f(x)满足下面关系：①f (x+1)=f (x-1);②当x[-1，1]时，f (x)=x2，则方程f (x)=lg x解的个数是()

A.5 B.7 C.9 D.10

解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)=lg x，则x(0，10]，画出两函数图象，

则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.

答案 C

3.函数f(x)的定义域为R，f (-1)=2，对任意xR，f(x)2，则f (x)2x+4的解集为()

A.(-1，1) B.(-1，+)

C.(-，-1) D.(-，+)

解析 f(x)2转化为f(x)-20，构造函数F(x)=f (x)-2x，得F(x)在R上是增函数.

又F(-1)=f (-1)-2(-1)=4，f (x)2x+4，

即F(x)4=F(-1)，所以x-1.

答案 B

4.(2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()

甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 A.12万元B.16万元

C.17万元 D.18万元

解析 设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，每天可获得利润为8万元，由已知可得目标函数z=3x+4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：

可得目标函数在点A处取到最大值.

由得A(2，3).则zmax=32+43=18(万元).

答案 D

二、填空题

5.(2015福建卷)若a，b是函数f(x)=x2-px+q(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于________.

解析 由题意知，a+b=p，ab=q，

∵p0，q0，a0，b0，在a，b，-2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b2;b，a，-2;-2，a，b;-2，b，a;成等比数列的情况有a，-2，b;b，-2，a.

∵或

解得或

p=5，q=4，

故p+q=9.

答案 9

6.若不等式|x-2a|x+a-1对xR恒成立，则a的取值范围是________.

解析 作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图，依题意知应有2a2-2a，故a.

答案

7.经过P(0，-1)作直线l，若直线l与连接A(1，-2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为________，________.

解析 如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，kPAkPB，而kPB0，kPA0，

又kPA==-1，

kPB==1，-11.

又当01时，0

当-10时，.

故倾斜角的取值范围为.

答案 [-1，1]

8.(2015江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.

解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为xy=0，直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行，

故两平行线的距离d==.

由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.

答案

三、解答题

9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.

(1)求{an}的通项an;

(2)求{an}前n项和Sn的最大值.

解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，

解出a1=3，d=-2.

所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.

(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2.

所以n=2时，Sn取到最大值4.

10.(2015安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(a0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e;

(2)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.

(1)解 由题设条件知，点M的坐标为，

又kOM=，从而=.

进而a=b，c==2b，

故e==.

(2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得=，

又=(-a，b)，

从而有=-a2+b2

=(5b2-a2).

由(1)的计算结果可知a2=5b2，

所以=0，

故MNAB.

11.设函数f (x)=ax3-3ax，g(x)=bx2-ln x(a，bR)，已知它们在x=1处的切线互相平行.

(1)求b的值;

(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解，求实数a

解 函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0，+)，

(1)f(x)=3ax2-3a(1)=0，

g(x)=2bx-(1)=2b-1，

依题意得2b-1=0，

所以b=.

(2)x(0，1)时，g(x)=x-0，

即g(x)在(0，1)上单调递减，

x(1，+)时，g(x)=x-0，

即g(x1，+)上单调递增，

所以当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=;

当a=0时，方程F(x)=a2不可能有四个解;

当a0，x(-，-1)时，f(x)0，即f(x)在(-，-1)上单调递减，

x(-1，0)时，f(x)0，

即f(x)在(-1，0)上单调递增，

所以当x=-1时，f(x)取得极小值f(-1)=2a，

又f(0)=0，

所以F(x)的图象如图(1)所示，

从图象可以看出F(x)=a2不可

当a0，x(-，-1)时，f(x)0，

即f(x)在(-，-1)上单调递增，

x(-1，0)时，f(x)0，

即f(x)在(-1，0)上单调递减，

所以当x=-1时，f(x)取得极大值f(-1)=2a.

又f(0)=0，

所以F(x)的图象如图(2)所求，

从图(2)看出，若方程F(x)=a2有四个解，则

所以，a的取值范围是.

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