锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用.锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础.因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一.

一、教学内容

本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用.

研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想.

现实生活中与边角有关的实际问题

锐角三角函数

锐角三角函数的计算

锐角三角函数的运用

解直角三角形

解决与直角三角形有关的实际问题

本章内容之间的相互关系可用如下的结构框图表示：

框图说明：

(1)现实生活中的边角之间存在着确定的数量关系，例如当斜面的倾斜角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系.

(2)锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦(sinA)、余弦(cosA)和正切(tanA)三种.

(3)三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30、45和60这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算.

(4)锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形.

二、教学要求

目标类别

目标层次

知识点及相关技能 知识技能目标 过程性目标

了解 理解 掌握 灵活

运用 经历

(感受) 体验

(体会) 探索

锐角三角函数 锐角三角函数的概念

锐角的正弦、余弦和正切

正弦、余弦、正切的符号(sinA，cosA，tanA)

30、45、60角的三角函数值

三角函数的计算 用计算器求锐角的三角函数值

用计算器根据三角函数值求锐角

解直角三角形 解直角三角形的概念

运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题

三、各节内容分析

1.1 锐角三角函数

本节有2课时.

第1课时为锐角三角函数的概念，经历锐角的正弦、余弦和正切的探索过程.

1.本节课以两个物体在两个坡角不同的斜面上向上运动为背景引入课题，并配以倾斜角不同的电梯作节前图，教学中教师可以根据学生的实际情况，重新设计学生熟悉的问题情境，如山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境.使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系.

2.合作学习中的三个问题是采用由特殊到一般的实验方法探索直角三角形中边角之间的关系，教学中要重视学生在探索过程中的交流.问题1、2分别是将直角三角形的锐角固定，研究当边长变化时，其三边长两两之间的比值分别不变.当学生完成取点、测量和计算比值的操作后，应及时引导学生交流，从交流中发现，其三组比值与在角边上所取点的位置无关，由此体验直角三角形的锐角固定，边长变化时，其三边长两两之间的比值分别不变.同时引导学生比较问题1、2所得出的结论，发现锐角不同，相应的比值不同，即比值随角度的变化而变化.问题3是将1、2中的问题一般化，教学时应先引导学生根据问题1、2所得出的结论进行猜测，然后用相似三角形加以证明.

3.三角函数的概念比较抽象，教学时应引导学生回顾函数的概念，并比较合作学习中所得的结论，感受把三个比值定义为锐角a的函数的合理性，由此突破教学难点.

4.正弦、余弦和正切符号sinA，cosA和tanA的读法和书写教学中都要进行示范.

5.用sinA，cosA和tanA表示直角三角形中两边的比时要引导学生结合图形进行，渗透数形结合，避免死记硬背.

6.通过例1的教学，进一步巩固直角三角形中一锐角的正弦、余弦和正切所对应的两边之比.教学中要注意解题过程的示范，并归纳在直角三角形中求三角函数值时，往往要结合勾股定理的应用.

第2课时为特殊角(30、45和60)的三角函数值.

1.本节课是在上节课已建立三角函数概念的基础上进一步探求特殊角的三角函数值.教学时应引导学生在回顾直角三角形的两个锐角互余、直角三角形三边之间关系(勾股定理)，以及直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半等知识的基础上，根据锐角三角函数的定义，自主探求30、45和60角的三角函数值.然后引导学生交流探求的结果，归纳出三个特殊角的9个三角函数值.

2.由于三个特殊角的三角函数值应用广泛，因此课本以表格的形式引导学生归纳.教学时可引导学生分别观察30、45和60角的三个正弦值、三个余弦值及三个正切值之间的差别及存在的联系，以及其间蕴涵的规律：如30、45和60角的三个正弦值由小到大，分母均为2，分子依次为1、、;而余弦函数值则正好相反. 30、45和60角的三个正切函数值也由小到大，且三个数值存在着某种对称，以45角是正切值1为对称中心，30和

60角的正切值分别是 和 ，互为倒数，且形式上存在对称美.由此可突破特殊角三角函数值多、容易混淆的难点.

3.例2中首次出现三角函数平方( )的书写方法，教学时要明确它的含义并进行书写示范.

4.例3是用特殊角的三角函数值解决与直角三角形有关的实际问题，以学生熟悉的做操动作为问题情境.教学的难点是当手臂与水平方向成60角时，想象从手指尖向水平方向作垂线，所得的垂线、水平线和手臂之间构成直角三角形，从而将实际问题转化为直角三角形中的计算问题.在例3的教学中，可以请学生模拟问题情境，共同分析解决问题的思路，得出解决问题的关键是构造直角三角形，求出当手臂与水平方向成60角时，手臂的垂直高度.另外，本例也是首次在直角三角形中利用三角函数值求边长，其中体现了方程思想，教学时应加以归纳点拨.

1.2 有关三角函数的计算

本节有2课时.

第1课时为用计算器求锐角的三角函数值

1.在引入课题后，介绍用计算器求锐角的三角函数值时，如果学生所用的计算器型号不一，可分小组合作学习，让每一组学生在相互帮助下学习，让每个学生都根据自己的计算器型号修改表中求三角函数值的按键顺序及显示结果，然后进行交流，归纳按键顺序及显示结果的异同.

2.用计算器求三角函数值的显示结果一般有10个数位，如果问题中没有特别说明，可精确到万分位，即保留四位小数;如果是运算的中间结果，则应保留尽可能多的小数位.

3.例1求三角形周长和面积的解题过程中，先将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式，最后再将边长和角度代入计算.这样处理一方面方便书写，另一方面可提高运算效率并减少计算误差.

第2课时为用计算器根据三角函数值求锐角.

1.本节课以求公路弯道的长为背景设计问题引入，目的在于说明由已知三角函数值求锐角也是解决现实生活中实际问题的需要.教学中要重视让围绕合作学习的三个问题进行思考、交流，由此感受学习由已知三角函数值求锐角的必要性和学习的价值，由此激发学习兴趣.

2.在引入课题后，介绍用计算器求锐角时，如果学生所用的计算器型号不一，同样可分小组合作学习，让每一组学生在相互帮助下学习，让每个学生都根据自己的计算器型号修改课本中介绍的按键顺序.

3.用计算器求锐角，如果问题中没有特别说明，应将计算结果精确到1.

4.如果问题中给出或经计算求得的三角函数值恰好是30、45和60角的三角函数值，则应要求学生不用计算器直接说出它所对应的角.

1.3 解直角三角形

本节有3课时.

第1课时为解直角三角形的概念及其简单应用.

1.本节课以平屋顶改建成坡屋顶为问题情境引入，说明现实生活中经常会遇到需要在直角三角形中由已知一些边、角求另一些边、角的问题，为叙述方便，本教科书给出了解直角三角形的名称，教学中只需要学生了解即可，不需要背、记概念.

2.例1是解直角三角形的解题过程示范，同时进一步巩固锐角三角函数知识.例1教学时，要注意引导学生分析已知条件，选择合适的求角和边的方法.可先让学生自主选择求B和a，b的方法，然后进行交流比较.如：(1)求B可以按教科书方法用直角三角形两个锐角互余求得，也可以在求出边长a，b后，通过计算B的正切值再用计算器求角得到.但采用后者不仅求解过程复杂，并且得到的是近似值，因此当已知一角时采用两锐角互余的方法求另一角比较合理简捷.(2)在求边长时选用不需要除法运算的三角函数比较便捷.(3)求边长b可用正切函数，由求得.但a是刚求得的近似值，用近似值代入计算不仅增加计算量，还可能影响结果的准确性，因此要尽量避免选用.如上种种，应在例1的基础上引导学生加以归纳、小结，同时培养学生养成解题后的反思总结的习惯，提高解决问题的能力.

2.例2是用解直角三角形的方法解决简单的实际问题，一方面巩固解直角三角形的方法，另一方面是用解直角三角形的方法解决实际问题的示范.例2教学后要引导学生小结：在直角三角形中，当已知两条边求第三边时，一般选用勾股定理;当已知一条边和一个锐角(或锐角的三角函数)时，选用适当的三角函数求解.解决一个问题往往需要综合运用直角三角形的性质、勾股定理和锐角是三角函数等.

第2课时是解直角三角形在解决有关图形计算问题中的进一步应用.

1.对例3中的两个术语坡比和坡角，容易混淆，教学时可以让学生讨论、区别它们的联系和区别：它们都与坡面有关，坡比是坡面的高度与水平距离的比，坡角是坡面的倾斜角;坡比与坡角的正切值相等.另外还可以引导学生归纳本章学习中遇到过的有关名词，分析它们的异同：斜面、斜坡，倾角、倾斜角等.

2.过梯形上底的端点作梯形的高，是将梯形中的计算问题化归为解直角三角形问题的常用辅助线，在例3教学后要引导学生加以总结.锐角三角形或钝角三角形的高是将其转化为直角三角形的辅助线.总之，过一点向一条线作垂线是将一些图形问题化归为直角三角形问题的基本辅助线.

3.例4教学中应引导学生结合图形加以分析，如果有条件可带学生到跑道上实地查看，动手实践怎样用皮卷尺确定弯道处两点间的路程，引导学生用数学知识可以将较难测量的弧长转化方便测量的弦长，由此将实际问题转化为根据弧长求弦长的数学问题.而根据弧长求弦长在图形中归结为用两条半径和弦AB构造等腰三角形，再作等腰三角形的高，将求弦长的计算问题化归为解直角三角形问题来解决.联系弧长和弦长的关键量是弧所对的圆心角，所以首先要根据弧长的计算公式求出圆心角的度数.

4.通过本节课的作业题第4题和第6题，可以引导学生探求当已知三角形的一个锐角A及其两条夹边长b，c求三角形面积的方法，得出三角形的面积公式.但不要求学生记忆该公式.

第3课时是解直角三角形在解决实际问题中的进一步应用.

1.在例5教学中，首先应引导学生分析题意，联系速度与时间和路程的关系，已知时间求速度，关键要知道路程，由此将求速度问题转化为求路程问题.然后根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为数学中的解直角三角形问题，这是解决本例的关键，也是本例教学中要让学生重点体验和累积经验之处.

2.例6中A楼的高度，根据所给的条件，由视线、地面水平线和A楼边沿的铅垂线构成直角三角形可直接求得，而D楼的高度不能直接求得，但由条件可以求出A、D两幢楼的落差，由此可求得D楼的高度.因此解决本例的关键是以点A观察点D的视线为斜边和适当的水平线及铅垂线为直角边构造直角三角形，除课本给出的构造方法外，还可以采用过D向水平线AF作垂线的方法得到.教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点和便捷性，鼓励学生学习的积极性，使学习成为主动的富有个性的过程.

3.例5、例6教学后应引导学生总结，将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键.航行问题中的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形由视线、水平线和铅垂线等构成.方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角、和各种视角(如仰角、俯角、观察角)有准确的理解和想象，并准确画出这些线.

4.课内练习第3题在画出图形后，需要根据勾股定理列方程解答，这是解直角三角形中常用方程思想，教学中要加以引导总结.

5.本节后的设计题，如果学校没有测倾仪，教师可组织部分学生用一个大量角器动手制作.然后让学生分组、分时段实施测量.

课题学习

本课题学习教学目标为：

让学生经历会徽中数学知识的挖掘与欣赏过程，进一步感受数学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣;进一步体会直角三角形中边角之间的关系，加深对锐角三角函数、勾股定理等知识的理解和整体性认识，从而进一步发展应用解直角三角形解决问题的意识和能力.

1.在探索求 ， ，之前，可让学生思考，怎样画出图1-27，有几种不同的画法，由此让学生体会求的意义，激发探求的积极性.在探索第几个直角三角形的内角 是第一个小于20的角时，可以引导学生根据图形，列出边长OAn= 或根据锐角三角函数的正切函数值随角度的增大而增大的关系列出不等式 tan20，然后可根据不等式的基本性质，将它变形为 ，再用计算器进行估计.

2.在探索北京国际数学家大会的会徽中蕴涵的数学时，在引导学生观察会徽特点的基础上，可以用怎样画出这个图案来激发探索的兴趣和探索的方向.如要使图案中的大小正方形边长分别为m，n(mn)，则可以求出直角三角形的边长来画，也可以求出直角三角形的内角来画.

3.在课题学习的教学中，既要放手让学生自主探索，又要引导学生间进行合作与交流.如在学生自主提出关于北京数学家大会会徽的两个数学问题后，应引导学生交流，可请学生邀请同伴解答并相互评价;在学生自主探索如何画出图1-27和图1-28的方法后，让学生交流所想到的不同方法，以及相应画法所需要的数据与求法，并尝试画一画;在学生自主选取大小正方形边长的不同值画出图1-28后，交流所画的图形，欣赏图案的变化等等.

四、本章教学中应注意的问题

1.边角之间的关系用函数来定义，学生理解有困难，教学时应引导学生适当回顾函数的概念，使学生体会三角函数的定义的合理性.

2.注意创设学生熟悉的问题情境.如引入锐角三角函数时，若农村学生没有见过电梯，可以用山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境.使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系.

3.注意引导学生进行合作交流.如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关;当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数.

4.注意引导学生灵活运用所学知识解决现实生活中的实际问题和数学本身的问题.例如在实验得出角的大小固定，比值与点的位置无关时，应及时引导学生用已学过的相似三角形的知识说明结论的正确性;在解决与直角三角形有关的问题中，要引导学生综合运用勾股定理、锐角三角函数，以及相似三角形、方程等知识，选择合理的解决问题方法.

5.注意学生书写三角函数符号的规范性，如sina不能写成sina，sinABC不能写成sinABC或sinABC等.