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几何计算题选讲

几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。

一、三种常用解题方法举例

例1. 如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PEAB于E，AB=10，求PE的长.

解法一：(几何法)连结OT， 则OTCD，且OT= AB=5

BC=OT=5 ,AC= =

∵BC是⊙O切线，BC2 =CPCA.

PC= ，AP=CA-CP= .

∵PE∥BC ，PE= 5=4.

说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.

解法二：(代数法)

∵PE∥BC， . .

设：PE=x，则AE=2 x ，EB=102 x.

连结PB. ∵AB是直径，APB=900.

在Rt△APB中，PEAB，△PBE∽△APE .

.EP=2EB，即x=2(102x).

解得x=4. PE=4.

说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式;勾股定理中的等式;相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.

解法三：(三角法)

连结PB，则BPAC.设PAB=

在Rt△APB中，AP=10COS，

在Rt△APE中，PE=APsin, PE=10sinCOS.

在Rt△ABC中, BC=5,AC= .sin= ,

COS= .PE=10 =4.

说明：在几何计算中，必须注意以下几点：

(1) 注意数形结合，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.

(2) 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.

(3) 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.

二.其他题型举例

例2.如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.

分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.

解：连结OE，∵CE切⊙O于E， OECF △EFO∽△BFC， ，又∵OE= AB= BC，EF= FB

设EF=x，则FB=2x，FA=2x2a

∵FE切⊙O于E FE2=FAFB，x2=(2x2a)2x

解得x= a， EF= a.

例3.已知：如图，⊙O1 与⊙O2相交于点A、B，且点O1在⊙O2上，连心线O1O2交⊙O1于点C、D，交⊙O2于点E，过点C作CFCE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=

(1) 求证：EF是⊙O1的切线;

(2) 求线段CF的长;

(3) 求tanDAE的值.

分析：(1)连结O1A，O1E是⊙O2的直径，O1AEF，从而知

EF是⊙O1的切线.

(2)由已知条件DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线，运用切割线定理EA2=EDEC，可求得EC=10.由CFCE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：(x+ )2= x2+102，解得 x= .即CF= .

(3)要求tanDAE的值，通常有两种方法：①构造含DAE的直角三角形;②把求tanDAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切(等角转化).在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段(对边和邻边)的值;②整体求出两线段(对边和邻边)的比值.

解：(1)连结O1A，

∵O1E是⊙O2的直径，O1AEF

EF是⊙O1的切线..

(2)∵DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O1的切线和割线

EA2=EDEC，EC=10

由CFCE，可得CF是⊙O1的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：(x+ )2= x2+102，解得 x= .即CF= .

(3)解法一：(构造含DAE的直角三角形)

作DGAE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A O1E中，三边长都已知或可求(O1A=4，O1E=6)，又DE=2，且DG∥A O1(因为DGAE)，运用平行分线段成比例可求得DG= 从而tanDAE= .

解法二：(等角转化)

连结AC，由EA是⊙O1的切线知DAE=ACD.只需求tanACD.易得CAD=900，所以只需求 的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE， .从而tanACD= ，即tanDAE= .

说明：(1)从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题(2)求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.

(2)方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.

例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.

(1) 求⊙A的半径;

(2) 求CF的长和△AFC的面积.

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2，(2+AD)2=42+AD2，解得AD=3.

(2) A作AGEF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，CE=

由CECF=CD2，得CF= .又∵AGE=900，BEC=GEA，△BCE∽△GAE. ，即 S△AFC= CFAG= .

例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC= ，B为锐角，且关于x的方程x24xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点(点D不与点A、C重合)，DE平分ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.

(1) 求B的度数;

(2) 求CE的长.

分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.

解：(1)∵关于x的方程x24xcosB+1=0有两个相等的实数根，

=(-4cosB)2-4=0.cosB= ，或cosB=- (舍去).

又∵B为锐角，B=600.

(2) 点A作AHBC，垂足为H. S△ABC= BCAH= BCABsin600= ，解得AB=6

在Rt△ABH中，BH=ABcos600=6 =3，AH=ABsin600=6 ，CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt△ACH中，AC2+CH2=27+1=28.AC= (负值舍去).AC= .连结AE，在圆内接四边形ABCD中，ADC=1800，ADC=1200.又∵DE平分ADC，EDC=600=EAC. 又∵AEC=B=600，AEC=EAC，CE=AC= .

例6. 已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CDAB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x23(r2)x+ r24=0的两个实数根.求(1)AC、BC的长;(2)CD的长.

分析：(1)图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.(2)∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.

解：(1)∵CE切⊙O于C，ECB=A.又∵E是公共角，△ECB∽△EAC， ，AC=2BC.由AC、BC的长是关于x的方程x23(r2)x+ r24=0的两个实数根，AC+BC=3(r-2);ACBC=r2-4，解得r=6，BC=4，AC=8.

(2) CO并延长交⊙O于F，连结AF，则CAF=900，CFA=CBD. ∵CDB=900=CAF，△CAF∽△CDB， .CD= .

说明：(1)这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算;(2)构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.

例7.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，PAC=B.

(1)求证：PA是⊙O的切线;

(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=CE∶EB=6∶5，AE∶EB=2∶3，求AB的长和FCB的正切值.

解：(1)∵AB是⊙O的直径，ACB=900. CAB+B=900，又PAC=B，CAB+PAC=900.即PAAB，PA是⊙O的切线.

(2) 设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a，EB=3 x.

由相交弦定理，得2x3x=5a6a x= a. 连结AD.由△BCE∽△DAE，得 .连结BD.由△BED∽△CEA，得 .

BD= .由勾股定理得BC= ，AD= .

.两边平方，整理得 ， (负值舍去).

AD= .∵FCB=BAD，tanFCB= tanBAD= .

解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.

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