许多场合下,只能从总体中抽取一个样本作为总体的代表,这一过程称为抽样，查字典数学网整理了用样本估计总体专题检测，帮助广大高中学生学习数学知识!

一、选择题

1.已知样本7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么这组数据落在8.5～11.5的频率为( )

(A)0.5 (B)0.4 (C)0.3 (D)0.2

2.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是( )

(A)组距越大，频率分布折线图越接近于它

(B)样本容量越小，频率分布折线图越接近于它

(C)阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比

(D)阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比

3.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,

12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )

(A)ac (B)ba

(C)cb (D)ca

4.(2013三明模拟)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的且样本容量为160，则中间一组的频数为( )

(A)32 (B)0.2 (C)40 (D)0.25

5.商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )

(A)6万元 (B)8万元

(C)10万元 (D)12万元

6.(2013济南模拟)为选拔运动员参加比赛，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为，记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数字记为x，那么x的值为( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

7.(能力挑战题)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和样本标准差分别为sA和sB，则( )

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题

8.(2012山东高考)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为____________.

9.(2013肇庆模拟)给出以下三幅统计图及四个结论:

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况;②2050年非洲人口大约将达到15亿;③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多;④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.

其中结论正确的是____________.

10.(2012广东高考)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为____________.(从小到大排列)

三、解答题

11.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高.

(2)计算甲班10名同学身高的方差.

12.(2012安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm), 将所得数据分组，得到如下频率分布表：

分 组 频 数 频 率 [-3，-2) 0.10 [-2,-1) 8 (1,2] 0.50 (2,3] 10 (3,4] 合计 50 1.00 (1)将上面表格中缺少的数据填充完整;

(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率.

(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数.

13.(能力挑战题)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别 PM2.5(微克/立方米) 频数(天) 频率 第一组 (0,15] 4 0.1 第二组 (15，30] 12 y 第三组 (30,45] 8 0.2 第四组 (45，60] 8 0.2 第五组 (60，75] x 0.1 第六组 (75，90) 4 0.1 (1)试确定x,y的值，并写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程).

(2)完成相应的频率分布直方图.

(3)求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.

答案解析

1.【解析】选B.样本的总数为20个，数据落在8.5～11.5的个数为8，故频率为

2.【解析】选C.总体密度曲线与频率分布折线图关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，但它永远达不到总体密度曲线.在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比，因而选C.

【误区警示】在频率分布直方图中，每一个小矩形的面积表示数据落在该组的频率，在总体密度曲线或总体分布折线图中，直线x=a，x=b，x轴与曲线或折线围成的面积也表示数据在(a，b)内的频率，即在(a，b)内取值的百分比，不要认为图形的平均高度是频率而误选D.

3.【解析】选D.平均数(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7，中位数b=15，众数c=17.

ca.

4.【解析】选A.频率等于长方形的面积，所有长方形的面积和等于1，设中间长方形的面积等于S，则设中间一组的频数为x，则得x=32.

5.【解析】选C.设11时至12时的销售额为x万元，由得x=10，故

选C.

6.【解析】选D.由茎叶图可知解得x=8.

7.【解析】选B.由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10,

B组的6个数为15，10，12.5,10,12.5,10,

所以

显然

又由图形可知，B组的数据分布比A均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sAsB，故选B.

8.【思路点拨】本题考查频率分布直方图，关键是抓住纵轴表示的是

【解析】最左边两个矩形面积之和为0.101+0.121=0.22，总城市数为110.22=50，最右面矩形面积为0.181=0.18，平均气温不低于25.5的城市个数为500.18=9.

答案：9

9.【解析】①显然正确;从条形统计图中可得到：2050年非洲人口超过15亿,②错;从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，③正确;由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误.

答案：①③

10.【思路点拨】本题是考查统计的有关知识，要知道平均数及中位数(按从小到大或从大到小的顺序排列，若奇数个数据取中间的数，若偶数个数据取中间两个数的平均数)的求法，以及标准差公式.利用平均数、中位数、标准差公式求解.

【解析】假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,

则

又s=

(x1-2)2+(x2-2)2=2,

同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2,

由x1,x2,x3,x4均为正整数，且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2上的点，分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.

答案：1，1，3，3

11.【解析】(1)由茎叶图可知：甲班10名同学身高集中于162～179，而乙班10名同学身高集中于170～180.因此由样本估计总体可知乙班平均身高高于甲班平均身高.

(2)甲班10名同学身高的平均数为

甲班10名同学身高的方差为[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+

(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+

(182-170)2]=57.2.

【方法技巧】茎叶图及应用

茎叶图在样本数据较少、较为集中且位数不多时比较适用，由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些特征，如众数、中位数、平均数等.

12.【思路点拨】(1)利用频率=

(2)利用频率估计概率.

【解析】(1)

分 组 频 数 频 率 [-3，-2) 5 0.10 [-2,-1) 8 0.16 (1,2] 25 0.50 (2,3] 10 0.20 (3,4] 2 0.04 合计 50 1.00 (2)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为0.50+0.20=0.70.

答：不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为0.70.

(3)合格品的件数为=1 980(件).

答：合格品的件数为1 980件.

13.【解析】(1)x=4,y=0.3，众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.

(2)其频率分布直方图如图所示：

(3)样本的平均数为

7.50.1+22.50.3+37.50.2+52.50.2+67.50.1+82.50.1=40.5.

因为40.535，所以去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.

【变式备选】某中学一个高三数学教师对其所教的两个文科班(每班各50名学生)的学生的一次数学成绩进行了统计，高三年级文科数学平均分是100分，两个班数学成绩的频率分布直方图如下(总分：150分).

(1)文科1班数学平均分是否超过年级平均分?

(2)从文科1班中任取一人，其数学成绩达到或超过年级平均分的概率是多少?

(3)文科1班一个学生对文科2班一个学生说：我的数学成绩在我班是中位数，从你班任抽一人的数学成绩不低于我的成绩的概率是0.60，则文科2班数学成绩在[100,110)内的人数是多少?

【解析】(1)文科1班数学平均分至少是

文科1班数学平均分超过年级平均分.

(2)文科1班在[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分数段共有人数是33，从文科1班中任取一人，其数学成绩达到或超过年级平均分的概率是0.66.

(3)设文科1班这个学生的数学成绩是x，则x[100,110)，文科2班数学成绩在[80,90)，[90,100)，[100,110)内的人数分别是b，c，y，

如果x=100，则y=15，即文科2班数学成绩在[100,110)内的人数至少是15人.

又∵由3

4+12+yb+c+y=3510+y-1+yy19，

则文科2班数学成绩在[100,110)范围内的人数是15或16或17或18或19.

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