线面距离典例剖析

【例1】 求证：如果一个平面经过一条线段的中点，那么这条线段的两个端点到这个平面的距离相等.

已知：线段AB的中点为O，O∈平面α.

求证：A、B两点到平面α的距离相等.

证明：(1)当线段在平面α上时，A、B两点显然到平面α的距离相等且为0.

(2)当线段AB不在平面α上时，作AA1⊥α，BB1⊥α，A1和B1为垂足，则AA1、BB1分别是A、B到平面α的距离，且AA1∥BB1，AA1、BB1确定平面β，β∩α=A1B1.

∵O∈AB，ABβ，∴O∈β，又O∈α.∴O∈A1B1.∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O.

∵∠AOA1=∠BOB1，AO=BO，

∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1=BB1，即线段AB的两个端点到平面α的距离相等.

点评：该题中，证明A1、O、B1三点共线是关键，离开这一点，就无法证明三角形全等.另外，第(1)步有些同学往往漏掉，使证明失掉严谨性.

【例2】 如图，已知AB是异面直线A、B的公垂线段，Bα，a∥α，求证：线段AB的长就是a与平面α之间的距离.

证明：∵Ba，∴由直线a、点B可确定平面，设为β，则α和β相交，设=a′.

∵a∥α，∴a∥a′.

又∵AB⊥a，∴AB⊥a′.

∵a、b是异面直线，∴b∩a′=B.又b、a′α，

∴AB⊥α，a∈a，A∥α.

∴AB的长为a到α之间的距离.

点评：由本例的结论知异面直线a、b之间的距离(公垂线段AB的长度)就是a与α之间的距离，利用这个结论，求异面直线间的距离可转化为求线面之间的距离.

【例3】 如图，已知梯形ABCD的一底边AB在平面α内，另一底边DC在平面α外，对角线交点O到平面α的距离为d，若AB∶CD=m∶n，求CD到平面α的距离.

解：∵CD在平面α外，CD∥BA，BAα，

∴CD∥平面α.

作CC1⊥α，C1为垂足，则CC1就是CD和平面α的距离.

作OO1⊥AC1于O1，

∵CC1⊥AC1，∴OO1∥CC1.

∵CC1⊥α，∴OO1⊥α.

∴OO1是O到平面α的距离，即OO1=d.

在梯形ABCD中，==，

∴=.

在平面ACC1内，==，

∴CC1=d.

因此，CD到平面α的距离为d.

点评：求线面之间的距离，“作、证、算”三步必不可少，即找出代表距离的垂线段并证明之，然后构造平面图形(多数为三角形)来算出.

归根结底求解它们都可以和直线与平面垂直建立密切的联系。比如，P到平面α距离，AB(这里P∈AB)与平面α所成的角，二面角α-l-β(这里P∈β)，首先要在平面α内选定直线a，然后能作(或找)出直线a垂直于一个辅助平面θ，当然要有P∈θ，这样就有平面α⊥平面θ且设交线为b,最后就是过点P作交线b的垂线PH,就得到PH⊥平面α。要求点

其清晰思维流程可参考下图：

下面我就求点面距、线面角、二面角问题通过三个例子作具体讲解

例1已知AB⊥平面BCD,AB=2,CD=5,△BCD的面积为，求点B到平面ACD的距离。

解析：要过相关点B作平面ACD的垂线

首先在平面ACD内现有的三条直线AC、AD、CD中选定CD,因为我们至少已知CD⊥AB且B∈AB;

然后过B作BE⊥CD于E，并连结AE，则CD⊥面ABE，于是就有面ABE⊥面ACD且交线为AE;

最后过相关点B作BH⊥AE，则BH⊥面ACD。

例2：如图在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,AA1=5,试求B1D1与平面A1BCD1所成的角的正弦值。

解析：要作B1D1与平面A1BCD1所成的角，可考虑怎样作出平面A1BCD1的垂线

在平面A1BCD1内现有的四条直线A1B，BC，CD1，A1D1中选定A1D1(或BC)因为容易知道A1D1⊥面A1B1BA(不选A1D1⊥面D1C1CD)因为这里有相关点B1∈B1D1且B1∈A1B1BA。

于是得出面A1D1CB⊥面A1B1BA且交线为A1B;

最后过B1作交线A1B的垂线B1H，得到B1H⊥面A1BCD1，连结D1H，则∠B1DH为所求的线面角。

例3：在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC,且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点

(1)求证：CM⊥EM;

(2)求CM与平面CDE所成的角;

(3)求二面角M-EC-D的大小

解析：对于(3)求二面角M-EC-D时，选定面CEM还是面CDE作为中心平面呢?关键是看能否作出其所在平面的垂线，进一步说是看哪一个平面中有某一条直线垂直于第三个平面!因为CM⊥AB，于是有CM⊥面ABDE，可选定面CEM作为中心平面。这样因为有CM⊥面ABDE，所以就有面DEM⊥面CEM且交线为EM。这里由于边的关系，根据勾股定理的逆定理有EM⊥DM,所以到这里我们就找到一条直线DM与中心平面CEM垂直并且D∈面CDE。最后只需过M作MO⊥EC于点O,并连接DO,则∠DOM为所求二面角M-EC-D的平面角。

对于(3)也可试着把另一个平面CDE视作中心平面，设法作(或找)出其垂线即可。例如可按如图(2)所提供的解法思考：因为CM⊥AB，于是有CM⊥面ABDE,可得CM⊥ED.过M作MF⊥ED,则DE⊥面CFM,我们就得到面CDE⊥面CFM且交线为CF,然后过M作MH⊥CF,那么MH⊥面CDE。最后过点M作MO⊥EC于点O,并连接HO,则∠HOM为所求二面角M-EC-D的平面角。

由以上论述，可见作好线面垂直在求解空间的距离和角时能起到事半功倍的效果，其中尤其把握好这两点：一是确定中心平面α内的直线a(如例1 中的CD);怎样选定直线a呢?重要的一点就是看直线a是否和某些直线m(如例1中的AB)垂直,即充分利用已有的垂直关系。二是作(或找)出直线a垂直于另外一个平面，从而进一步达到最核心的一点，就是作出面面垂直。这里往往要尽量围绕相关点P(如例1中的点B)再作一直线n(如例1中的BE)与直线a垂直,于是因为直线a垂直m、n，就得到直线a垂直平面θ。