数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具，以下是广东松山湖莞美学校2016届高三数学一模试卷，希望考生认真练习。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有

且只有一项符合题目要求.

(1)已知复数z满足(3+4i)z=25，则z=()

A.3-4i B.3+4i

C.-3-4i D.-3+4i

命题对任意xR，都有x2的否定为()

A.存在x0R，使得x0B.对任意xR，都有x20

C.存在x0R，使得x0D.不存在x0R，使得x20

将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()

A.x+y-1=0 B.x+y+3=0

C.x-y+1=0 D.x-y+3=0

设aR，则a=1是直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()

A.2,5 B.5,5

C.5,8 D.8,8

6)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()

A. B.C. D.

(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()

A.6B.9

C.12 D.18

(8)如图，矩形ABCD中，已知设，那么当取得最大值时，( )

A.2 B. C. D.1

(9)已知sin -cos =，(0，)，则tan =()

A.-1 B.-

C. D.1

(3a2 -) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是 ( )

A.4 B.5 C. 6 D. 8

(11)如图椭圆的中心在坐标原点为其左焦点当时椭圆的离心率为此类椭圆被称为黄金椭圆.类比黄金椭圆可得黄金双曲线的离心率为()

A. B.

C.-1 +1函数y=的图像与函数y=2sinx4)的图像所有交点的横坐标之和等于()

A.2B.4

C.6 D.8

在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________.

曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.

(15)如图所示的程序框图运行相应的程序输出的结果i=____________.是上的奇函数，则的解集是______________________

三、解答题：本大题共70分，其中(17)(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题

为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若函数f(x)=Asin(2x+0,0)在x=处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.

(18)(本小题满分12分)

对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如下图.

(1)根据图中数据，制作22列联表;

(2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一男一女的概率;

(3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系?

参考数据：

P(K2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

(19)(本小题满分12分)

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且(1)求证：平面 ;

(2)求直线与平面所成角的弦值.的离心率为，其下焦点到点的距离为.不过原点O的直线与椭圆相交于A，B两点，且线段AB被直线平分.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求面积取最大值时直线的方程.

(21)(本小题满分12分)

已知函数1)求曲线在处的切线方程2)证明：过点P作倾斜角为的直线与曲线+=1交于点M求的最小值及相应的值.已知函数f(x)=|x-a|其中1.(1)当a=2时求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-(x)|2的解集为{x|12}求a的值.

A(3)C(4)A(5)C(6)D(7)B(8)B(9)A(10)B(11)A(12)D

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

(13) (14)5x+y-3=016)

三、解答题：本大题共70分，其中(17)(21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题

为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若函数f(x)=Asin(2x+0,0)在x=处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.

解：(1)由q=3，S3=，得=，解得a1=.

所以an=3n-1=3n-2.

(2)由(1)可知an=3n-2，所以a3=3.因为函数f(x)的最大值为3，所以A=3;

因为当x=时f(x)取得最大值，所以sin(2+)=1.

又0，故=.所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+).

(1)根据图中数据，制作22列联表;

(2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一男一女的概率;

(3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系?

参考数据：

P(K2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

解 (1)

更爱好体育 更爱好文娱 合计 男生 15 10 25 女生 5 10 15 合计 20 20 40 (3分)

(2)恰好是一男一女的概率是：=.(6分)

(3)K2==

=2.666 72.706，(9分)

我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系.(12分)

(19)(本小题满分12分)

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面 ;

(2)求直线与平面所成角的弦值.解答：(1)证明：∵底面，且底面， 1分

由，可得 2分

又 ，平面 3分

注意到平面， 4分

,为中点， 5分

， 平面 6分(2)如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.

则 7分

. 8分

设平面的法向量.

由得，

即(1)

(2)

取，则，. 10分

，

直线与平面所成角的弦值. 12分

的离心率为，其下焦点到点的距离为.不过原点O的直线与椭圆相交于A，B两点，且线段AB被直线平分.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求面积取最大值时直线的方程.

(21)(本小题满分12分)

已知函数1)求曲线在处的切线方程2)证明：解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+)，

2分

由题意可得f(1)=2，f(1)=e，故曲线在处的切线方程; 4分

(2)证明：由(1)知，f(x)=exln x+ex-1，

从而f(x)1等价于xln xxe-x-.6分

设函数g(x)=xln x，

则g(x)=1+ln x，

所以当x时，g(x)

当x时，g(x)0.

故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，+)上的最小值为g=-.8分

设函数h(x)=xe-x-，则h(x)=e-x(1-x).

所以当x(0，1)时，h(x)

当x(1，+)时，h(x)0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+)上单调递减，从而h(x)在(0，+)上的最大值为h(1)=-.10分

因为gmin(x)=g=h(1)=hmax(x)，

所以当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1. 12分

请考生在第(22)，(23)二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

过点P作倾斜角为的直线与曲线+=1交于点M求的最小值及相应的值.解：设直线方程为(t为参数)将其代入x+2y=1并整理得(1+2)t2+tcos+=0则==又直线与曲线相交=10-4(1+20，得.当=(0)即=或=时有最小值已知函数f(x)=|x-a|其中1.(1)当a=2时求不等式f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-(x)|2的解集为{x|12}求a的值.解：(1)当a=2时(x)+|x-4|=当x2时由-2x+64解得x当2

又已知|h(x)|2的解集为{x|12} 解得a=3.

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