2015-12-25 收藏
以下是查字典数学网为您推荐的 变量与函数,希望本篇文章对您学习有所帮助。
变量与函数
教学目标
1.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.
2.进一步理解掌握确定函数关系式.
3.会确定自变量取值范围.
教学重点
1.进一步掌握确定函数关系的方法.
2.确定自变量的取值范围.
教学难点
认识函数、领会函数的意义.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化?同一问题中的变量之间有什么联系?也就是说当其中一个变量确定一个值时,另一个变量是否随之确定一个值呢?
这将是我们这节研究的内容.
Ⅱ.导入新课
首先回顾一下上节活动一中的两个问题.思考它们每个问题中是否有两个变量,变量间存在什么联系.
活动一两个问题都有两个变量.问题(1)中,经计算可以发现:每当售票数量x取定一个值时,票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150,则y=1500;日场x=205,则y=2050;晚场x=310,则y=3100.
问题(2)中,通过试验可以看出:每当重物质量m确定一个值时,弹簧长度L就随之确定一个值.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.当m=10时,则L=15,当m=20时,则L=20.
再来回顾活动二中的两个问题.看看它们中的变量又怎样呢?
问题(1)中,很容易算出,当S=10cm2时,r=1.78cm;当S=20cm2时,r=2.52cm.每当S取定一个值时,r随之确定一个值,它们的关系为r= .
问题(2)中,我们可以根据题意,每确定一个矩形的一边长,即可得出另一边长,再计算出矩形的面积.如:当x=1cm时,则S=1(5-1)=4cm2,当x=2cm时,则S=2(5-2)=6cm2它们之间存在关系S=x(5-x)=5x-x2.因此可知,每当矩形长度x取定一个值时,面积S就随之确定一个值.
由以上回顾我们可以归纳这样的结论:
上面每个问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.
其实,在一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题,通过观察、思考、讨论后回答:
(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?
(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每个确定的年份(x),都对应着个确定的人口数(y)吗?
中国人口数统计表
年份 人口数/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
通过观察不难发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量(independentvariable),y是x的函数(function).如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
据此可以认为:上节情景问题中时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60,t=2时的函数值s=120,t=2.5时的函数值s=150,,同样地,在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52亿.
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.
[活动一]
1.在计算器上按照下面的程序进行操作:
填表:
x 1 3 -4 0 101
y
显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?
2.在计算器上按照下面的程序进行操作.
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果:
x 1 2 3 0 -1
y 3 5 7 2 -1
所按的第三、四两个键是哪两个键?y是x的函数吗?如果是,写出它的表达式(用含有x的式子表示y).
活动结论:
1.从计算结果完全可以看出,每输入一个x的值,操作后都有一个唯五的y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量、y是x的函数.
2.从表中两行数据中不难看出第三、四按键是 这两个键,且每个x的值都有唯一一个y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量,y是x的函数.关系式是:y=2x+1
[活动二]
例1 一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.
1.写出表示y与x的函数关系式.
2.指出自变量x的取值范围.
3.汽车行驶200km时,油桶中还有多少汽油?
结论:
1.行驶里程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数.
行驶里程x时耗油为:0.1x
油箱中剩余油量为:50-0.1x
所以函数关系式为:y=50-0.1x
2.仅从式子y=50-0.1x上看,x可以取任意实数,但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程,所以不能取负数,并且行驶中耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油50L,即0.1x50,x500.
因此自变量x的取值范围是:
0500
3.汽车行驶200km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值,将x=200代入y=50-0.1x得: y=50-0.1200=30
汽车行驶200km时,油箱中还有30升汽油.
关于函数自变量的取值范围
1.实际问题中的自变量取值范围
问题1:在上面的联系中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制?
问题2:某剧场共有30排座位,第l排有18个座位,后面每排比前一排多1个座位,写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式,自变量的取值有什么限制。
2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围
例.求下列函数中自变量x的取值范围
(1)y=3x-l (2)y=2x2+7 (3)y=1x+2 (4)y=x-2
分析:用数学表示的函数,一般来说,自变量的取值范围是使式子有意义的值,对于上述的第(1)(2)两题,x取任意实数,这两个式子都有意义,而对于第(3)题,(x+2)必须不等于0式子才有意义,对于第(4)题,(x-2)必须是非负数式子才有意义.
我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上,又该学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法.知道了自变量取值范围的确定,不仅要考虑函数关系式的意义,而且还要注意问题的实际意义.
Ⅲ.随堂练习
下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.
1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.
2.秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.
解答:
1.正方形边长x是自变量,正方形面积S是x的函数.
函数关系式:S=x2
2.这个村人口数n是自变量,人均占有耕地面积y是n的函数.
函数关系式:y=
Ⅳ.小结
本节课我们通过回顾思考、观察讨论,认识了自变量、函数及函数值的概念,并通过两个活动加深了对函数意义的理解,学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法,会求函数值,提高了用函数解决实际问题的能力.
Ⅴ.作业
1、习题11.1.1-1、2、3、4题.
2、《课堂感悟与探究》
Ⅵ.活动与探究
1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔,宣纸每张3元,毛笔每支5元,商店正搞优惠活动,买一支毛笔赠一张宣纸.小明买了10支毛笔和x张宣纸,则小明用钱总数y(元)与宣纸数x之间的函数关系是什么?
过程:
根据题意可知:
当小明所买宣纸数x小于等于10张时,所用钱数为:y=510=50(元)
当小明所买宣纸数x大于10张时,所用钱数为:y=50+(x-10)3=3x+20(元)
结果:
当0
当x10时 y=3x+20
2、 为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过10吨时,水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x吨(x 10),应交水费y元,请用方程的知识来求有关x和y的关系式,并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数?
(参考答案:Y=1.8x-6或 )
2、如图(二),请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式.
*3.如图(三),等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式.
板书设计
11.1.2 函数
一、自变量、函数及函数值
二、自变量取值范围
三、课堂练习
备课资料
1.校园里栽下一棵小树高1.8米,以后每年长0.3米,则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________.
2.在男子1500米赛跑中,运动员的平均速度v= ,则这个关系式中________是自变量,________函数.
3.已知2x-3y=1,若把y看成x的函数,则可以表示为____________.
4.△ABC中,AB=AC,设B=x,A=y,试写出y与x的函数关系式_____________.
5.到邮局投寄平信,每封信的重量不超过20克时付邮费0.80元,超过20克而不超过40克时付邮费1.60元,依此类推,每增加20克须增加邮费0.80元(信重量在100克内).如果某人所寄一封信的质量为78.5克,则他应付邮费________元.
答案:1.L=0.8+0.3n 2.t v是t的 3.y= x- 4.y=180-2x 5.3.20.
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