2013-03-09 收藏
梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形那么多性质,所以有关梯形的证明、计算题,常有一定的难度,如果能巧借辅助线,则能有效地化难为易。
一、移腰
1、移动一腰
例1 梯形两底长分别为14cm和24cm,下底与腰的夹角分别是60°和30°,求较短腰长。
解析:如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=14cm,BC=24cm,∠B=60°,∠C=30°。过点A作AE//DC交BC于E,得到平行四边形AECD和△ABE,故AE=DC(相当于将腰DC移到AE的位置),AD=EC(相当于将上底AD移到下底上,BE为两底之差),∠C=∠AEB=30°(相当于将∠C移到∠AEB的位置)。
图1
这样,梯形的两腰,两底之差,下底与腰的两个夹角都集中于Rt△ABE中,于是得到较短腰
。
2、移动两腰
例2 如图2,梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC。
求证:∠B=∠C。
图2
分析:过点E作EM//AB,EN//DC,分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中,由E、F分别是AD、BC的中点容易得到
,又由EF⊥BC,得EM=EN,故∠EMN=∠ENM,所以∠B=∠C。
二、移对角线
例3 如图3,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC、BD互相垂直,梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。
图3
解析:过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,过点D作DM⊥BC于点M,这样得到平行四边形ACED,所以AC=DE(相当于将对角线AC移到DE的位置),AD=CE(相当于将上底、下底移到一起,BE为两底之和)。由AC⊥BD,得BD⊥DE。
这样将两对角线,两底和,两对角线夹角集中于△BDE中。容易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高,所以
,即梯形的高为4,故
。
三、移底
例4 如图4,梯形ABCD中,AB//CD,E为腰AD的中点,且AB+CD=BC。
求证:BD⊥CE。
图4
分析:延长CE交BA的延长线于点F,因为点E为AD的中点,可得△DCE≌△AFE,故CE=FE,CD=AF,由AB+CD=BC,得BC=BF,故BE⊥CE。
例5 如图5,在梯形ABCD中,AB//CD,且AB>CD,E、F分别是AC和BD的中点。
求证:
。
图5
分析:连接DE并延长交AB于点G,易得△AGE≌△CDE,故DC=GA,DE=EG,从而得
。
四、作高
例6 如图6,在梯形ABCD中,AB//CD,两条对角线AC=20cm,BD=15cm,梯形高为12cm,求梯形ABCD的面积。
图6
解析:此题有两种解法。
法一:如图6,分别过点C、D作CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,得矩形DCEF,在Rt△ACE中,AC=20cm,CE=12cm,可得AE=16cm。同理BF=9cm,显然BF+AE=AB+CD=25(cm),可求梯形面积为
。
法二:如图7,过点D作DE//CA交BA的延长线于点E,过点D作DF⊥BA于点F,在Rt△DEF中,DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得EF=16cm。同理,FB=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25(cm),进而求得梯形面积为
。
图7
小结:通过添加辅助线,将梯形问题转化为特殊平行四边形和特殊三角形问题,从而解决问题。添加辅助线的规律可归纳为以下几点:
1、当两腰(或对角线)具备特殊关系时,移腰(或对角线),构造等腰三角形或直角三角形。
2、当涉及面积时,作高,构造直角三角形。
3、当涉及腰(或对角线)的中点时,可添加辅助线构造全等三角形。
4、当涉及两底的和或差时,可灵活利用上述3点,将两底移到同一直线上。
2017中考数学备考指导:数学知识口诀(2)
五年级数学上册教学反思整理
六年级数学下册数的运算总复习练习题
近年高二数学导数压轴题总结
高二数学导数解题方法及策略
2016秋学期小学四年级数学期末复习计划
五年级数学上册期中水平测试题
2016学年小升初数学考试试题
六年级数学下册期末自测试题
必备小升初数学期末模拟试卷
中考数学答题技巧:“一次函数”的解题方法与技巧
必备2017小升初数学模拟检测试卷(带答案)
高二数学基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
2017中考数学备考指导:数学知识口诀(3)
小升初数学经济利润问题应用题及答案
苏教版2017小升初数学模拟检测试题
2017中考数学备考指导:数学知识口诀(5)
高二数学学习方法:导数怎么学
中考数学复习指导:学习一次函数有什么该注意事项吗?
2017中考数学一次函数应用题练习
人教版二年级数学上册第八单元测试卷
2017小升初数学综合能力检测试题
2017中考数学试题练习之一次函数测试题
2017中考数学备考指导:数学知识口诀(1)
数学上册11.2整理与复习练习题(苏教版)
2017中考数学备考指导:数学知识口诀(6)
精选小升初数学模拟练习试题
2016中考数学考点分析:一次函数的应用题分类总结
2017中考数学答题技巧:一次函数解析式的常见题型
高二数学导数压轴题解题技巧:导数的应用
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |