第八章 函数与图像

1数轴

11 有向直线

在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相

规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l

12 数轴

我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标

对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化

数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值

2 平面直角坐标系

21 平面的直角坐标化

在平面内任取一点o为作为原点(基准点),过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限

22 两点间的距离

23 中点公式

3 函数

31 常量,变量和函数

在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数

一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量

1. 函数的定义域

2. 对应法则

(1) 解析法

就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)

(2) 列表法

(3) 图像法

3 函数的值域

一般的,当函数f(x)的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a)

32 函数的图像

若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F,而集F成为函数y=f(x)的图像

知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤

4 正比例函数

41 正比例函数

一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x之间的比例函数确定了比例函数k,就可以确定一个正比例函数

正比例函数y=kx有下列性质:

(3) 当k>0时,它的图像经过第一,三象限,y随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二,四象限,y随着x的增大而减小

(2)随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,因此,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此,k叫做直线y=kx的斜率

42 反比例函数

一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数

反比例函数y=k/x有下列性质:

(7) 当k>0时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第

二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大

(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴

5 一次函数及其图像

51 一次函数及其图像

如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数

直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距

52 一次函数的性质

函数y=f(小),在a〈x〈b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在a〈x<b上市递增函数;如果函数值随着自变量x的值增大而减小,那么我们说函数y=发(x)在a〈x〈b上是递减函数

如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法

3. 3 一次函数的应用