1 圆的基本性质

1 1圆的定义

在平面内,和某一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆周,简称为圆；其中定点叫做圆的圆心,廉结圆心与圆上任意一点的线段叫做半径

同圆的半径都相等

连结圆上任意两点的线段叫做这个圆的弦,通过圆心的弦叫做直径

圆上任意两点间的部分叫做弧

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形

两个圆全等的充要条件是两个圆的半径相等

半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等

1 2 不共线的三点确定一个圆

经过一点可以作无数个圆

经过两点也可以作无数个圆,且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上

定理 过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆

推论 三角形的三边垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心

三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心

1．3 垂径定理

圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心

圆是周对称图形,任一条通过圆心的直线都是它的对称轴

定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧

推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

推论2 弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

推论3 平分弦所对的一条弧的直径,垂直评分弦,并且平分弦所对的另一条弧

1.4 弧、弦和弦心距

定理 在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

2 圆与直线的位置关系

2.1圆与直线的位置关系

如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离

如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做它们的切点

定理 经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线

定理 圆的切线垂直经过切点的半径

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点

直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种

2.2三角形的内切圆

如果一个多边形的各边所在的直线,都和一个圆相切,这个多边形叫做圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆

定理 三角形的三个内角平分线交于一点,这点是三角形的内心

三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点,这一点叫做三角形的旁心.以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切,所作的圆叫做三角形的旁切圆

2.3切线长定理

定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

2.4圆的外切四边形

定理 圆的外切四边形的两组对边的和相等

定理 如果四边形两组对边的和相等,那么它必有内切圆

3 圆与圆的位置关系

3.1两圆的位置关系

在平面内,不重合的两圆.它们的位置关系,有以下五种情况：外离、外切、相交、内切、外切

经过两个圆的圆心的直线,叫做两圆的连心线,两个圆心之间的距离叫做圆心距

定理 两圆的连心线是两圆的对称轴,并且两圆相切时,它们切点在连心线上

（1）两圆外离 d>R+r

（2）两圆外切 d=R+r

（3）两圆相交 R-r<d<R+r (R>r)

（4）两圆内切 d=R-r (R>r)

（5）两圆内含 d<R-r (R>r)

特殊情况,两圆是同心圆 d=0

3.2两圆的公切线

定理 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等