数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。以下是查字典数学网整理的数列的综合应用专题训练，请考生练习。

一、填空题

1.(2014南通质检)已知数列{an}满足：a1=1，an0，a-a=1(nN*)，那么使an5成立的n的最大值________.

[解析] 由a-a=1(nN*)知，数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，则a=1+(n-1)1=n.

由an5，n25，则n的最大值为24.

[答案] 24

2.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比q=________.

[解析] 设数列{an}的公差为d(d0)，由a=a1a7得(a1+2d)2=a1(a1+6d)，解得a1=2d.

故数列{bn}的公比q====2.

[答案] 2

3.(2014泰州模拟)设数列{an}是首项大于零的等比数列，则a10，当a11.{an}为递增数列;若{an}为递增数列，则q1，a10)，

若交换a，b，则b，b-d，b+d成等比数列，得(b-d)2=b(b+d)，解得d=3b，a=-2b，c=4b.

==10.

若交换a，c，则d=0(舍去).

若交换b，c也可得=10，综上，=10.

[答案] 10

7.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.

[解析] 设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an，

则an=n，由题意知n10%，n4.

[答案] 4

8.已知数列{an}为等差数列，公差为d，若-1，且它的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的n的最小值为________.

[解析] 根据Sn有最大值知，d0，则a10a11，

由-1知，a10a11，

且a11-a10即a10+a110，从而S19==19a100，

S20==10(a10+a11)0，

则使Sn0的n的最小值为20.

[答案] 20

二、解答题

9.(2013天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(nN*)，且-2S2，S3,4S4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)证明：Sn+(nN*).

[解] (1)设等比数列{an}的公比为q.

因为-2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3+2S2=4S4-S3，

即S4-S3=S2-S4，可得2a4=-a3，

于是q==-.

又因为a1=，所以等比数列{an}的通项公式为an=n-1=(-1)n-1.

(2)证明：Sn=1-n，Sn+=1-n+=

当n为奇数时，Sn+随n的增大而减小.

所以Sn+S1+=.

当n为偶数时，Sn+随n的增大而减小，

所以Sn+S2+=.

故对于nN*，有Sn+.

10.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.

(1)求第n年初M的价值an的表达式;

(2)设An=，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年初对M更新.证明：需在第9年初对M更新.

[解] (1)当n6时，数列{an}是首项为120，公差为-10的等差数列，an=120-10(n-1)=130-10n.

当n7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70，所以an=70n-6.

因此，第n年初，M的价值an的表达式为

an=

(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当16时，Sn=120n-5n(n-1)，An=120-5(n-1)=125-5n;

当n7时，由于S6=570，

故Sn=S6+(a7+a8++an)

=570+704

=780-210n-6.

An=.

因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，

又A8==8280，

A9==7680，

所以需在第9年初对M更新.

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