考生在复习数学时最重要的是注重错题的积累，以下是高考文科数学第一次调研试卷，希望可以帮助考生查缺补漏。

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.集合 ，则

A. B. C. D.

2.下列命题中，真命题是

A. ，使得 B.

C. D. 是 的充分不必要条件

3.若 ， 是两条不重合的空间直线， 是平面，则下列命题中正确的是

A.若 ， ，则 B.若 ， ，则

C.若 ， ，则 D.若 ， ，则

4.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象

A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度

C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度

5.对于函数 若 ，则函数 在区间 内

A.一定有零点 B.一定没有零点

C.可能有两个零点 D.至多有一个零点

6.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A. B. C. D.

7.点 是如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分

且包括边界)的任意一点，若目标函数 取得最

小值的最优解有无数个，则 的最大值是

A. B.

C. D.

8.在平面直角坐标平面上， ，且 与 在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为

A. B. C. 或 D.

9.对于一个有限数列 ， 的蔡查罗和(蔡查罗是一位数学家)定义为 ，其中 ，若一个99项的数列( 的蔡查罗和为1000，那么100项数列 的蔡查罗和为

A.991B.992C.993D.999

10.设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若 ， ，则双曲线的离心率为

A. B. C. D.

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)

11.若 ，若 ，则 ▲ .

12.在△ABC中，若 ∶ ∶ ∶ ∶ ，则角 ▲ .

13.已知 克糖水中含有 克糖( )，若再添加 克糖( )，则糖水就变得更甜了.试根据这一事实归纳推理得一个不等式 ▲ .

14.由直线 上的点向圆 引切线，

则切线长的最小值为 ▲ .

15.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，

则该几何体的表面积为 ▲ .

16.若函数 在其定义域内的一个子区间

内存在极值，则实数 的取值范围 ▲ .

17.已知函数 .

①若 ，使 成立，则实数 的取值范围为 ▲

②若 ， 使得 ，则实数 的取值范围为 ▲ .

三、解答题(本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题满分12分)

已知向量 ，设函数

(Ⅰ)求 在区间 上的零点;

(Ⅱ)若角 是△ 中的最小内角，求 的取值范围.

19.(本小题满分12分)

已知等比数列 满足： ，且 是 的等差中项.

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)若数列{an}是单调递增的，令 ， ，求使

成立的正整数 的最小值.

20.(本小题满分13分)

如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， , 点 是 的中点， ，且交 于点 .

(Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)求证：直线 平面 ;

(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的余弦值.

21.(本小题满分14分)

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是 (单位:万元).现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 (单位:万元)随投资收益 (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

(Ⅰ)若建立函数模型 制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件;

(Ⅱ)现有两个奖励函数模型： ; .试分析这两个函数模型是否符合公司要求.

22.(本小题满分14分)

如图，已知圆E: ，点 ，P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.

(Ⅰ)求动点Q的轨迹 的方程;

(Ⅱ)设直线 与(Ⅰ)中轨迹 相交于 两点，直线 的斜率分别为

.△ 的面积为 ，以 为直径的圆的面积分别为 .若 恰好构成等比数列，求 的取值范围.

荆门市高三年级元月调研考试

数学(文)参考答案及评分标准

一、选择题：(每小题5分，10小题共50分)

1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.C 9.D 10.A

二、填空题：(每小题5分，5小题共25分)

11. ; 13 . ( 且 ); 14. 15.32 16. ; 17.① ;② .

三、解答题:(本大题共6小题，共75分)

18.因为向量 ，函数 .

所以 2分

4分

(1)由 ，得 .

， 或 6分

， 或 ，又 ， 或 .

所以 在区间 上的零点是 、 . 8分

(2)由已知得 从而 10分

， 12分

19. (1)设等比数列 的首项为 ，公比为

依题意，有 ，代入 ，

可得 ， 2分

， 解之得 或 4分

当 时， ; 当 时， .

数列 的通项公式为 或 . 6分

(2)∵等比数列{an}是单调递增的， ， ，

③ 8分

④ 由③-④，得

10分

即 ，即

易知：当 时， ，当 时，

故使 成立的正整数 的最小值为5. 12分

20. (选修2一1第109页例4改编)

方法一：(Ⅰ)证明：连结 交 于 ，连结 .

是正方形， 是 的中点.

是 的中点， 是△ 的中位线.

. 2分

又∵ 平面 ， 平面 ，

平面 . 4分

(Ⅱ)证明：由条件有

平面 ， 6分

又∵ 是 的中点，

平面

由已知 ， 平面 8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 面 ，则直线 在面 内的射影为 ，

为所求的直线 与面 所成的角. 10分

又 ，在 中

又

由 可得 .

12分

直线 与平面 所成角的余弦值为 . 13分

21. (必修一第127页例2改编)

(Ⅰ)设奖励函数模型为 ，则该函数模型满足的条件是：

①当 时， 是增函数;

②当 时， 恒成立;

③当 时， 恒成立. 5分

(Ⅱ)(1)对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件①;

但当 时， ，因此，当 时， ，不满足条件②;

故该函数模型不符合公司要求. 8分

(2)对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件①

时 ，即 恒成立，满足条件②10分

设 ，则 ，又

，所以 在 上是递减的， 12分

因此 ，即 恒成立.满足条件③

故该函数模型符合公司要求;

综上所述，函数模型 符合公司要求. 14分

22.(选修2一1第49页习题第7题改编)

(Ⅰ)连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ，

故动点Q的轨迹 是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆. 2分

设其方程为 ，可知 ， ，则 ，3分

所以点Q的轨迹 的方程为为 . 4分

(Ⅱ)设直线 的方程为 ， ，

由 可得 ，

由韦达定理有：

且 6分

∵ 构成等比数列， = ，即：

由韦达定理代入化简得： .∵ ， 8分

此时 ，即 .又由 三点不共线得

从而 .

故

10分

又

则

为定值. 12分

当且仅当 时等号成立.

综上： 14分

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