一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题，每小题5分，共60分).

1.(理)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 ( )

A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C.ac+bd=0 D.ad+bc=0

(文)曲线 在点(-1，-3)处的切线方程是 ( )

A. B. C. D.

2.函数 ，已知 在 时取得极值，则 = ( )

A.2 B.3 C.4 D.5

3.(理)复数z在复平面内对应的点为A, 将点A绕坐标原点, 按逆时针方向旋转 , 再向左平移一个单位, 向下平移一个单位, 得到B点, 此时点B与点A恰好关于坐标原点对称, 则复数z为 ( )

A.-1 B.1 C.i D.- i

(文)如果函数 的图像与函数 的图像关于坐标原点对称，则 的表达式为 ( )

A. B. C. D.

4.(理)复数 等于 ( )

A. B. C. D.

(文)函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 ( )

A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16

5.设f0(x)=sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N，则f2006(x)=( )

A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

6.(理)若复数 (a∈R，i为虚数单位位)是纯虚数，则实数a的值为

A.-2 B.4 C.-6 D.6

(文)函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点 ( )

A.1个

B.2个

C.3个

D. 4个

7.函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如

图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在 ( )

A.第I象限 B.第II象限

C.第Ⅲ象限 D.第IV象限

8.(理)若复数 满足方程 ，则 ( )

A. B. C. D.

(文)下列式子中与 相等的是 ( )

(1) ; (2) ;

(3) (4) .

A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)

9.(理)设z1, z2是非零复数满足z12+ z1z2+ z22=0, 则( )2+( )的值是 ( )

A.-1 B.1 C.-2 D.2

(文)对于 上的任意函数 ，若满足 ，则必有 ( )A. B.

C. D.

10.设函数 的图象上的点 处的切线的斜率为 ，若 ，则函数 的图象大致为 ( )

A. B. C. D.

11.设 ，当 时取得极大值，当 时取得极小值，则 的取值范围为 ( )

A. B. C. D.

12.(理)若 ，令 ，则 的值(其中 )( )

A.1 B. C. D.

(文)用长度分别为2、3、4、5、6(单位： )的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 ( )

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)。

13.曲线 在点(1，1)处的切线方程为 .

14.(理)已知复数： ，复数 满足 ，则复数 .

(文)设函数 。若 是奇函数，则 __________。

15.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _.

16.(理)若非零复数 满足 ,则 的值是 .

(文)等边三角形的高为8cm时, 面积对高的变化率为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。

17.(12分)(理)求同时满足下列条件的所有的复数z, ①z+ ∈R, 且1

(文)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y= (0

(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升?

(Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

18.(12分)(理)已知复数

满足，复平面内有RtΔABC，其中∠BAC=90°，

点A、B、C分别对应复数 ，如图

所示，求z的值。

(文)已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数

的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求：

(Ⅰ) 的值;

(Ⅱ)a，b，c 的值.

19.(12分)(理)抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值，并求Smax.

(文)已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前n项和为 ，点 均在函数 的图像上。

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)设 ， 是数列 的前n项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数m;

20.(12分)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大?

21.(12分)已知函数 在R上有定义，对任何实数 和任何实数 ，都有

(Ⅰ)证明 ;

(Ⅱ)证明 其中 和 均为常数;

(Ⅲ)当(Ⅱ)中的 时，设 ，讨论 在 内的单调性并求极值。

22.(14分)设函数 .

(Ⅰ)证明 ,其中为k为整数;

(Ⅱ)设 为 的一个极值点，证明 ;

(Ⅲ)设 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列 ,证明

参考答案

一、选择题

1.(理)D(文)D;2.B;3.(理)B(文)D;4.(理)A(文)A;5.B;6.(理)C(文)A;7.A;8.(理)C(文)B;9.(理)C(文)C;10.A;11.D;12.(理) C(文)B;

二、填空题

13.x+y-2=0;14.(理) (文)π6 ;15. ;16.-1(文) 。

三、解答题

17.(理)解：设z=x+yi, (x, y∈R), 则z+ =x(1+ )+y(1- )i .

∵z+ ∈R,

∴y(1- )=0.

∴y=0, 或x2+y2=10.

又1

∴1< x(1+ )≤6.①当y=0时, ①可以化为10时, x+ ≥2 >6. 故y=0时, ①无解. 当x2+y2=10时, ①可化为1<2x≤6, 即

∵x, y∈Z, 故可得z=1+3i ,或 1-3i ,或 3+i ,或 3-i .

(文)解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时,要耗油( .

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.

(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了 设耗油量为h(x)升，衣题意得

h(x)=( )• ,

h’(x)= ，(0

令h’(x)=0，得x=80.

当x∈(0,80)时，h’(x)<0,h(x)是减函数;

当x∈(80,120)时，h’(x)>0,h(x)是增函数.

∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.

因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.

18.(理)解法一：由 ，得A点坐标为(a，b)。

由 ，得B点坐标为( )

由 ，得B点坐标为( )

解法二：容易验证 恒成立，

由于 ，即为 ，

将其变形为 ，

化简得 ，从而得到 。

(文)解法一：

(Ⅰ)由图象可知，在(-∞，1)上 ,在(1,2)上 ,在 上 , 故 在 , 上递增,在(1,2)上递减,因此 在 处取得极大值,所以 .

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

19.(理)解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=-b/a，所以 (1)

又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组

得ax2+(b+1)x-4=0，其判别式必须为0，即(b+1)2+16a=0.

于是 代入(1)式得：

令S'(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3，且当00;当b>3时，S'(b)<0.故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且 。

(文)解：(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得

a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.

又因为点 均在函数 的图像上，所以 =3n2-2n.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- =6n-5.

当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5，所以，an=6n-5 ( )

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 = = ，

故Tn= = = (1- ).

因此，要使 (1- )< ( )成立的m,必须且仅须满足 ≤ ，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

20.解：设OO1为x m,

则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m)

于是底面正六边形的面积为(单位：m2)

帐篷的体积为(单位：m3)

求导数，得

令 解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.

当1

当2

所以当x=2时,V(x)最大。

答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

21.证明(Ⅰ)令 ，则 ，∵ ，∴ 。

(Ⅱ)①令 ，∵ ，∴ ，则 。

假设 时， ，则 ，而 ，∴ ，即 成立。

②令 ，∵ ，∴ ，

假设 时， ，则 ，而 ，

∴ ，即 成立。

∴ 成立。

(Ⅲ)当 时， ，

令 ，得 ;

当 时， ，

∴ 是单调递减函数;

当 时， ，

∴ 是单调递增函数;

所以当 时，函数 在 内取得极小值，极小值为

22.(Ⅰ)证明：由函数f (x)的定义，对任意整数k，有

(Ⅱ)证明：函数

①

显然，对于满足上述方程的x有 ，上述方程化简为 如图所示，此方程一定有解，

由

(Ⅲ)证明：

即 在第二或第四象限内.由①式， 在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：

x

x0

的符号 k为奇数 - 0 +

k为偶数 + 0 -

所以满足 的正根x0都为 的极值点.

由题设条件， 的全部 正实根且满足

那么对于n=1,2,…,

②

由于

由于 由②式知 必在第二象限，即

综上，