2015-12-01
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解析几何是很多考生最头疼的题目了,查字典数学网整理了解析几何解答题专题训练,其中是一些典型题型,希望考生可以好好研究。
1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原 点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.
解 (1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,
所以x1+x2=5p4.
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4,知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,
从而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,
从而A(1,-22),B(4,42).
设OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22),
又y23=8x3 ,
所以[22(2-1)]2=8(4+1),
即(2-1)2=4+1,
解得=0,或=2.
2.已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x 轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为23,圆C的面积小于13.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD 与MC恰好平行?如果存在, 求出l的方程;如果不存在,请说明理由.
解 (1)设圆C:(x-a)2+y2=R2(a0),由题意知
|3a+7|32+42=R,a2+3=R
解得a=1或a=138,
又S=13,
a=1,R=2.
圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.
(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.
当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1), B(x2,y2),
又l与圆C相交于不同的两点,
联立得y=kx+3x-12+y2=4,
消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0,
=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200,
解得k 1-263或k1+263.
x1+x2=-6k-21+k2,y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2,
OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3),
假设OD∥MC,
则-3(x1+x2)=y1+y2,
36k-21+k2=2k+61+k2,
解得k=34-,1-2631+263,+,假设不成立,
不存在这样的直线l.
3.已知A(-2,0),B(2,0),点C,点D满足|AC|=2,AD=12(AB+AC).
(1)求点D的轨迹方程;
(2)过点A作直线l交以A,B为焦点的椭圆于M,N两点,线段MN的中点到y轴的距离为45,且直线l与点D的轨迹相切,求该椭圆的方程.
解 (1)设C ,D点的坐标分别为C(x0,y0),D(x,y),
则AC=(x0+2,y0),AB=(4,0),
则AB+AC=(x0+6,y0),
故AD=12(AB+AC)=x02+3,y02.
又AD=(x+2,y),故x02+3=x+2,y02=y.
解得x0=2x-2,y0=2y.
代入|AC|=x0+22+y20=2,
得x2+y2=1,
即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.
(2)易知直线l与x轴不垂直,设直线l的 方程为
y=k(x+2),①
设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②
将①代入②整理,
得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③
因为直线l与圆x2+y2=1相切,
故|2k|k2+1=1,
解得k2=13.
故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-a2a2-3.
由题意有a2a2-3=245(a24),
解得a2=8,经检验,此时0.
故椭圆的方程为x28+y24=1.
4.已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,F1PF2=3,△F1PF2的面积为33.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M的坐标为54,0,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的kR,MAMB是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
解 (1)设|PF1|=m,|PF2| =n.
在△PF1F2中,由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3,
化简得,m2+n2-mn=4.
由S△PF1F2=33,得12mnsin3=33.
化简得mn=43.
于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.
m+n=22,由此可得,a=2.
又∵半焦距c=1,b2=a2-c2=1.
因此,椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)由已知得F2(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),
由y=kx-1,x22+y2=1
消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-12k2+1.
∵MAMB=x1-54,y1x2-54,y2
=x1-54x2-54+y1y2
=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2
=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2
=-4k2-22k2+1+2516
=-716.
由此可知MAMB=-716为定值.
5.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.
(1)求双曲线E的方程;
(2) 已知点F为双曲线E的左 焦点,试问在x轴上是否存在一定点M,过点M任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点(P在Q点左侧),使FPFQ为定值?若存在,求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解 (1)由题意知|6|12+-12=a,a=3.
又∵2c=4,c=2,b=c2-a2=1.
双曲线E的方程为x23-y2=1.
(2)当直线为y=0时,
则P(-3,0),Q(3,0),F(-2,0),
FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.
当直线不为y=0时,
可设l:x=ty+m(t3),代入E:x23-y2=1,
整 理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)
由0,得m2+t23.
设方程(*)的两个根为y1,y2,满足y1+y2=-2mtt2-3,
y1y2=m2-3t2-3,
FPFQ
=(ty1+m+2,y1)(ty2+m+2,y2)
=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2
=t2-2m2-12m-15t2-3.
当且仅当2m2+12m+15=3时,FPFQ为定值,
解得m1=-3-3,m2=-3+3(舍去).
综上,过定点M(-3-3,0)任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点,使FPFQ=1.
以上的解析几何解答题专题训练每道题都是编辑老师精心整理的,都有一定的代表性,希望考生可以掌握每道题的解题思路。
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