注意事项：请本卷共21道小题，满分150分，时间120分钟。

一、选择题(每小题5分，共10小题，满分50分)

1.设集合 ， , 则( D )

A. B. C. D.

2.“ ”是“ ”的( B )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知 , 则 ( B )

A. B. C. D.

4. 已知函数 , 则下列结论正确的是 (C )

A. 是偶函数 B. 是增函数

C. 的值域为[-1，+∞) D. 是周期函数

5. 已知命题 ，命题 : .下面结论正确的是( D )

A.命题“ ”是真命题 B. 命题“ ”是假命题

C.命题 “ ”是真命题 D.命题“ ”是假命题

6.曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为( D )

A. B. C. D.

7.已知函数 的定义域为 ,值域为 ，则 的值不可能是( A )

A. B. C. D.

8.若函数 的图象

如图所示，则 等于( B )

A.

B.

C.

D.

9.已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 ，若 ，则 ( B )

A. B. C. D.

10. 已知方程 有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(B)

A. B. C. D.

二、选择题(每小题5分，共7小题，满分35分)

11. . [答案]

12. 已知幂函数 在 处有定义，则实数 .

答案：2

13.曲线 在点 处的切线的斜率为 .

答案：

14.若函数 在 内有极小值，则实数 的取值范围是 .

答案：

15. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 给出以下命题：

①当 时， ;

②函数 有五个零点;

③若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ;

④ 恒成立.

其中，正确命题的序号是 .

【答案】①④.

由图可知，若关于 的方程 有解，则 ，且对

恒成立.

三、解答题(本大题共6小题, 满分75分)

16、(本题满分12分)

设 是单位圆和 轴正半轴的交点， ， 是单位圆上两点， 是坐标原点，且 ，

, .

(1)若点 的坐标是 其中 ，求 的值.

(2)设 , 函数 ，求 的值域.

解：(1)由 ，

. …..3分

所以 = . …..6分

(2)由已知有 , …..8分

因为 ，则 ，所以 .

故 的值域是 . …..12分

17、(本题满分12分)

已知函数 满足 ，对任意 都有 ，且 .

(1)求函数 的解析式.

(2)是否存在实数 ，使函数 在 上为减函数?若存在，求出实数 的取值范围;若不存在，说明理由.

∴ 图像的对称轴为直线 ，则 ，∴ ……………2分

18、(本题满分12分)

如图，已知在直四棱柱 (侧棱垂直底面的棱柱)中， ， ， .

(1)求证： 平面 .

(2)求 与平面 所成的角的的正弦值.

解法一：

(1)设 是 的中点，连结 ，则四边形

为正方形，

.故 ， ， ，

，即 .……….. 2分

又 ， ……..3分

平面 ， …….5分

(2)由(1)知 平面 ，

又 平面 ， ，

取 的中点 , 连结 ，又 ，

则 .

取 的中点 ，连结 ，则 ,

. 平面 ，

则过 向平面 引垂线,垂足必落在 上

为直线 与平面 所成的角……8分

连结 ，在 中， ， ，

取 的中点 ，连结 ， ，

在 中， ， ， . ………..10分

.

与平面 所成的角的的正弦值为 . ………..12分

解法二：

(1)以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，

, . ….. 2分

, …..3分

又因为

所以， 平面 . ………..5分

(2)设 为平面 的一个法向量.

由 ， ，

得 取 ，则 . ……….8分

又 …….9分

设 与平面 所成的角为 ，则 ,

即 与平面 所成的角的的正弦值 . ………..12分

19、(本题满分13分)

如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离是 ，从点 沿海岸正东 处有一个城镇。假设一个人驾驶的小船的平均速度为 ，步行的速度是 ，用 (单位： )表示他从小岛到城镇的时间， (单位： )表示此人将船停在海岸处距 点的距离。

(1)请将 表示为 的函数 .

(2)将船停在海岸处距点 多远时从小岛到城镇所花时间最短?最短时间是多少?

解：

(1)

………5分

(2) ………7分

,

令 得 . ………9分

当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. ……11分

故当 时, 最小,且最短时间为 . ………13分

20、(本题满分13分)

(1)用导数证明: 若 ,则 .

(2)若 对 恒成立，求 的最大值与 的最小值.

解：(1)设f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x∈(0，π/2) f'(x) = 1 - cosx 0 g'(x) = (1/cos²x) - 1 0 由

于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是单调递增函数 所以f(x) f(0) = 0，g(x) g(0) = 0 == x - sinx

0 ， tanx - x x sinx ，tanx x ∴sinx tanx，x∈(0，π/2) ………6分

(2)当x0时，“sin xxa”等价于“sin x-ax0”，“sin xx