广东七校2015届高三数学上学期第一次联考试题（文）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分为150分，考试用时为120分钟.

第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知全集 ，集合 ， ，则 等于( )

A. B. C. D.

2、已知 为虚数单位，复数 的模 ( )

A. 1 B. C. D.3

3、在等差数列 中，已知 ，则 ( )

A. 7 B. 8C. 9D. 10

4、设 是两个非零向量，则 是 夹角为锐角的( )

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5、在魅力咸阳中学生歌手大赛比赛现场上七位评委为某选手打

出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，

所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.5和1.6 B.85和1.6 C. 85和0.4 D. 5和0.4

6、如果直线 与平面 满足： 那么必有( )

A. B. C. D.

7、如图所示，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)

和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该

几何体体积为( )

A. B. C. D.

8、定义运算 为：两个实数 的 运 算原理如图所示，

若输人 ， 则输出 ( )

A.-2 B.0 C、2 D.4

9、在长为12 厘米的线段 上任取一点 ，现作一矩形,邻边长分别等

于线段 的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为( )

A. B. C. D.

10、如图， 是函数 图像上一点，曲线

在点 处的切线交 轴于点 ， 轴，垂足为

若 的面积为 ，则 与 满足关系式( )

A. B. C. D.

第II卷(非选择题，共100分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分.

11.函数 ，则 ___

12. 若目标函数 在约束条件 下仅在点 处取得最小值，则实数 的取值范围是 .

13. 已知 ， ，且 ，则 .

14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中圆 的圆心到直线 的距离是

15.(几何证明选讲)如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的

延长线交⊙O于N， ，若⊙O的半径为 ，OA= OM ，

则MN的长为

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)已知向量 ， ，设函数 .

(Ⅰ)求函数 单调增区间;

(Ⅱ)若 ，求函数 的最值，并指出 取得最值时 的取值.

17、(本题满分12分)某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

节能意识弱节能意识强总计

20至50岁45954

大于50岁103646

总计5545100

(1)由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关?

(2)若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人?

(3)按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

18、(本题满分14分)如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，点O是对角线 与 的交点, 是 的中点, .

(1)求证： 平面 ; (2)平面 平面

(3)当四棱锥 的体积等于 时,求 的长.

19、(本题满分14分)已知等差数列 的公差为 , 且 ,

(1)求数列 的通项公式 与前 项和 ;

(2)将数列 的前 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 的前3项,记 的前 项和为 , 若存在 , 使对任意 总有 恒成立, 求实数 的取值范围

20、(本题满分14分)已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，且直线与 轴交于点

(1)求证： 成等比数列;

(2)设 ， ，试问 是否为定值，若是，求出此定值;若不是，请说明理由.

21、(本题满分14分)设函数 ( )， .

(1) 若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 的值;

(2) 关于 的不等式 的解集中的整数恰有3个，求实数 的取值范围;

(3) 对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得 和 都成立，则称直线 为函数 与 的分界线.设 ， ，试探究 与 是否存在分界线?若存在，求出分界线的方程;若不存在，请说明理由.

2015届七校联考文科数学答案

ACDBB ABADCB 11. 12. 13. 14、1 15、2

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)解：(Ⅰ)

2分

当 ， Z， 3分

即 ， Z，

即 ， Z时，函数 单调递增， 5分

所以，函数 的单调递增区间是 ，( Z); 6分

(Ⅱ)当 时， ， ， 8分

当 时，原函数取得最小值0，此时 ， 10分

当 时，原函数取得最大值 ，此时 . 12分

17、(12分)解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强， 与 相差较大， 所以节能意识强弱与年龄有关3分

(2)年龄大于50岁的有 (人)6分(列式2分，结果1分)

(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有 人7分

年龄大于50岁的有4人8分

记这5人分别为 ,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下

10分

设 表示事件这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁，则 中的基本事件有

共4种11分

故所求概率为 12分

18、(14分)解:(1) 在 中， 、 分别是 、 的中点,

是 的中位线， ， 1分

面 ， 面 3分

面 4分

(2) 底面 是菱形， ，5分

面 ， 面 ，

6分

面 ， 面 ， ，7分

面 8分

面 ，9分

面 面 10分

(3)因为底面 是菱形， ，所以 11分

四棱锥 的高为 ， ，得 12分

面 ， 面 ， 13分

在 中, . 14分

19、(14分)解：(1) 由 得 ，所以

， 从而 ----------------------------6分

(2)由题意知 设等比数列 的公比为 ，则 ，

随 递减， 为递增数列，得

又 ， 故 ，

若存在 , 使对任意 总有 则 ，得 -------14分

20.(14分) 解：(1)证明：设直线的方程为： ，

联立方程可得 得 ①

设 ， ， ，则 ，②

，

而 ， ，

即 成等比数列.

(2)由 ，得

， ，

即得： ，则

由(1)中②代入得 ，故 为定值且定值为-1.

21. (14分)解：(1)因为 ，所以 ，令

得： ，此时 ， 2分

则点 到直线 的距离为 ，

即 ，解之得 . 4分

(2)解法一：不等式 的解集中的整数恰有3个，

等价于 恰有三个整数解，故 ，6分

令 ，由 且 ，

所以函数 的一个零点在区间 ，

则另一个零点一定在区间 ， 8分

故 解之得 . 10分

解法二： 恰有三个整数解，故 ，即 ，6分

，

所以 ，又因为 ， 8分

所以 ，解之得 . 10分

(3)设 ，则 .

所以当 时， ;当 时， .

因此 时， 取得最小值 ，

则 与 的图象在 处有公共点 . 12分

设 与 存在 分界线，方程为 ，

即 ，

由 在 恒成立，则 在 恒成立 .

所以 成立， 因此 .

下面证明 恒成立.

设 ，则 .

所以当 时， ;当 时， .

因此 时 取得最大值 ，则 成立.

故所求分界线方程为： . 14分

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