高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了2015届高三数学第二次调研试题，希望对大家有帮助。

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡一并交回.

参考公式：①如果事件 互斥，则

②如果事件 相互独立，则

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.

1.设集合 ，集合 ，则 ()

A. B. C. D.

2. 复数 ( 为虚数单位)在复平面上对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.双曲线 的实轴长是()

A.2 B.22 C.4 D.42

4.设向量 ， ，则下列结论中正确的是()

A. B. C. D. 与 垂直

5.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为 ，众数为 ，平均值为 ，则()

A. B.

C. D.

6. 设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在平面 内，且 ，则 是 的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知 , , 满足约束条件 ，若 的最小值为1，则 ()

A. B. C. D.

8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 ( 表示不大于 的最大整数)可以表示为()

A. B. C. D.

二、填空题(本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分.每小题5分，满分30分)

(一)必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.

9.已知 ，则不等式 的解集为 .

10.曲线 在点 处的切线方程为 .

11. 展开式中的常数项为 .

12.锐角 中，角 所对的边长分别为 ，若 ，则角 等于 .

13.在正项等比数列 中， ， ，

则满足 的最大正整数 的值为________.

(二)选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分.

14.(极坐标与参数方程)已知圆的极坐标方程为 ，圆心为 ，点 的极坐标为 ，则 ________.

15.(几何证明选讲)如图所示，⊙ 的两条切线 和 相交于点 ，与⊙ 相切于 两点， 是⊙ 上的一点，若 ，则 ________.(用角度表示)

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)

设向量 ， ， .

(1)若 ，求 的值;

(2)设函数 ，求 的最大值.

17.(本题满分12分)

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为 ， ，， ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)根据频率分布直方图，求重量超过 克的产品数量;

(2)在上述抽取的 件产品中任取 件，设 为重量超过 克的产品数量，求 的分布列;

(3)从该流水线上任取 件产品，求恰有 件产品的重量超过 克的概率.

18.(本题满分14分)

如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， ， 底面 .

(1)证明： ;

(2)若 ，求二面角 的余弦值.

19.(本题满分 分)

设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， .

(1)求数列 的通项公式;

(2)证明：对一切正整数 ，有 .

20.(本题满分14分)

如图，已知椭圆 ： ，其左右焦点为 及 ，过点 的直线交椭圆 于 两点，线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点，且 、 、 构成等差数列.

(1)求椭圆 的方程;

(2)记△ 的面积为 ，△ ( 为原点)的面积为 .试问：是否存在直线 ，使得 ?说明理由.

21.(本题满分 分)

已知 ，函数 .( 的图像连续不断)

(1)求 的单调区间;

(2)当 时，证明：存在 ，使 ;

(3)若存在均属于区间 的 ，且 ，使 ，

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