西江中学2015届高三数学10月月考试题（理科）

参考公式：

独立性检验：设随机变量 (其中 )是由观测样本的22列联表所得到的随机变量，则 的计算值 对应的概率 如下表所示：

P(K20.500. 400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

选择题：

1.设全集 ，则

A.{1} B.{l,2} C.{0,1,2} D.{一1,0,1,2}

2.复数 满足 ,则在复平面上复数 对应的点位( )

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

3. 下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为( ).

A. B. C. D.

4. 在 中，若 ，则 ( ).

A. B. C. D.

5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为 ()

A.14B.16 C.18 D.64

6.如图1， 、 分别是正方体 中 、 上的动点(不含端点)，则四边形 的俯视图可能是

A. B. C. D.

7.现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为( )

A.232种 B.252种 C.472种 D.484种

8.在区间 上随机取两个数 ，其中满足 的概率是( )

A. B. C. D.

二、填空题：

9. 不等式 的解集是 .

10. .

11. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数 .

12. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 .

13. 曲线 在点 处的切线方程为 .

选做(两题任选做一题)

14. 以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点 的极坐标为 ，曲线 的参数方程为 ，则曲线 上的点B与点A距离的最大值为 .

15. 如图,在 中,斜边 ,直角边 ,如果

以C为圆心的圆与AB相切于 ,则 的半径长为 。

解答题：(本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

16. (本小题满分12分)已知 、 都是锐角， ， ，

⑴求 和 的值;

⑵求 和 的值。

17. (本小题12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：

文艺节目新闻节目总计

20至40岁401656

大于40岁202444

总计6040100

⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名?

⑵是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?说明你的理由;

18. (本小题满分14分)某校兴趣小组进行了一项娱乐与年龄关系的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次是否是电影明星追星族调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和追星族统计表：

各年龄段样本人数频率分布直方图 追星族统计表

组数分组追星族人数占本组频率

一[15，25)a0.75

二[25，35)2000.40

三[35，45)50.1

四[45，55)3b

五[55，65]20.1

(1)求 的值.

(2)设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体， 表示其中追星族的人数，求 分布列、期望和方差.

19.(本小题14分)如图，在长方体 中， = =1， ，点E是线段AB中点.

(1)求证： ;

(2)求二面角 的大小的余弦值;

(3)求 点到平面 的距离.

20.(本小题满分14分)焦点在x轴的椭圆 ，过 右顶点 的直线 与曲线 相切，交 于 二点.

(1)若 的离心率为 ，求 的方程.

(2)求 取得最小值时 的方程.

21.(本小题满分14分)21(本小题满分14分)

已知函数 ，曲线 经过点 ，且在点 处的切线为 ： .

⑴ 求常数 ， 的值;

⑵ 求证：曲线 和直线 只有一个公共点;

⑶ 是否存在常数 ，使得 ， 恒成立?若存在，求常数 的取值范围;若不存在，简要说明理由.

2015届西江中学高三理数10月考答案

一、ADCB，ABCB

二、9. 10. 11.

12.0 13. 14.5 15.

三、16.解：(1)⑴因为 都是锐角，所以 ， -----------1分

(-----------2分)

(-----------4分)

(-----------6分)

⑵因为 都是锐角，所以 ， (-----------7分)

= (-----------9分)

(10分)

(-----------11分)

(-----------12分)

17.⑴应抽取大于40岁的观众人数为 (名)4分(列式4分，计算1分)

⑵根据列联表中的数据，得

10分(列式2分，计算2分，判断2分)

所以，有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关12分

18.解： (1).由题设知[15，25)这组人数为0.04101000=400，1分

故a=0.75400=300 2分

[45，55)这组人数为0.003101000=30，故b= 3分

综上，a=300，b=0.1. 4分

(2).由[45，65]范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为

～B(2， ) 6分

故 的分布列是

012

p0.810.180.01

8分

的期望是 10分

的方差是 12分

19. (1) 证明： 面 ， 面

所以， 1分

中， ，

同理： ，又 ，

3分

所以， 面 4分

又 面

所以， 5分

(2)解法一 由(1)证可知 是所求二面角 的平面角6分

在 中， ， ;

故， 8分

即二面角 的大小的余弦值为 9分

解法二：利用向量法

设平面 的法向量为 ，

由(1)得 ，

且

解得： ,即 ;7分

又平面 的法向量为 ，

所以，二面角 的余弦值为 . 9分

(3))解法一： ， ， ，

10分

又 ， ， ，

(11分)

设 点到平面 的距离为 ，则 ，

解得 ，即 点到平面 的距离为 . (14分)

解法二：利用向量法

由(1) (2)知 ，平面 的法向量为

故， 点到平面 的距离为

20.解：解：(1).由 的离心率 得 2分

3分

(2). 与 方程联立消 得

由 与 相切知 ，由 知 5分

与 方程联立消 得 ① 6分

设点

交 于 二点， 、 是①的二根

，故 8分

10分

令 ，则

令 ，则 在 上恒成立

故 在 上单减 12分

故 即 ， 时 取得最小值，则 取得最小值

此时 14分

21. 解：21解：⑴ 1分，

依题意， 即 3分，

解得 5分。

⑵记 ，

则 6分，

当 时， ;当 时， ;当 时， 8分，所以 ，等号当且仅当 时成立，即 ，等号当且仅当 时成立，曲线 和直线 只有一个公共点9分。

⑶ 时， ，所以 恒成立当且仅当

10分，

记 ， ， 11分，

由 得 (舍去)， 12分

当 时， ;当 时， 13分，

所以 在区间 上的最大值为 ，常数 的取值范围为 14分.

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