2014届高三数学上册理科第一次月考试题

数学(理)试题

第Ⅰ卷 (选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

⒈ 设 ( 是虚数单位)，则 ( )

A. B. C. D.

⒉ 已知向量 ， ，则 是 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

⒊ 若双曲线 的离心率为2，则 等于( )

A. B. C. D.

⒋ 甲、乙两位歌手在中国好声音选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为 、 ，则下列判断正确的是( )

A. ，甲比乙成绩稳定

B. ，乙比甲成绩稳定

C. ，甲比乙成绩稳定

D. ，乙比甲成绩稳定

⒌ 等差数列 中的 、 是函数 的极值点，则 ( )

A. B. C. D.

⒍ 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径

为2，则该几何体的体积为( )

A. B.

C. D.

⒎ 已知函数 ，其导函数 的部分图像如图所示，则函数 的解析式为( )

A. B.

C. D.

⒏ 设变量 满足 ，若直线 经过该可行域，则 的最大值为( )

A. B. C. D.

⒐ 已知偶函数 满足 ，且在区间 上单调递增.不等式 的解集为( )

A. B. C. D.

10. 定义在 上的奇函数 ，满足 ， ，则函数 在区间 内零点个数的情况为( )

A. 个 B. 个 C. 个 D.至少 个

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.

11.已知 ，则 的展开式中的常数项是 (用数字作答).

12. 执行如图所示的程序框图，输出结果S的值为 .

13.抛物线 上点 处的切线方程是 .

14. 已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 ( 为参数). 、 分别是曲线 和直线 上的任意一点，则 的最小值为 .

15. 已知函数 ，给出下列五个说法：

① ;②若 ，则 ;③ 在区间 上单调递增; ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象;⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.

16.(本小题满分12分)

在△ABC中，已知 ,其中 、 、 分别为 的内角 、 、 所对的边.求：

(Ⅰ)求角 的大小;

(Ⅱ)求满足不等式 的角 的取值范围.

17.(本小题满分12分)

如图，在三棱锥 中， ， ， ，设顶点 在底面 上的射影为 .

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)设点 在棱 上，且 ，试求二面角

的余弦值.

18.(本小题满分12分)

已知函数 ， .

(Ⅰ)求 的极值;

(Ⅱ)当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围;

19.(本小题满分12分)

甲、乙两人进行围棋比赛，规定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一方比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的 概率为 ，且各局胜负相互独立.已知第 二局比赛结束时比赛停止的 概率为 .

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的分布列和数学期望

20.(本小题满分13分)

数列 的前 项和为 ， .

(Ⅰ)设 ，证明：数列 是等比数列;

(Ⅱ)求数列 的前 项和 ;

(Ⅲ)若 ， ，求不超过 的最大的整数值.

21.(本小题满分14分)

已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程;

(Ⅲ)设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 ，求 的取值范围.

安徽省望江中学2014届 第一次月考

数学(理)试题答案

⒈【解析】因为 ，所以 ，选C.

⒉【解析】因为 ，所以选A.

⒊【解析】由 知 ，而 ，解得 ，选D.

⒍【解析】由三视图可知，该几何体是有长方体里面挖了一个半圆柱体，可知，长方体的长为4，宽为3，高为2，那么圆柱体的高位3，底面的半径为1，则可知该几何体的体积为 ，故答案为C.

⒎【答案】B.

⒏【解析】直线 过定点 ，作可行域如右图所示，当定 点和B点连接时，斜率最大，此时 ，选A;

⒐【解析】因为偶函数 在区间 上是增函数且 ，所 以 可化为 ，则有 ，解得 的取值范围是 ，选B.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

题号⒒⒓⒔⒕⒖

答案 2 ①④

，则令 ，解得 ，从而常数项为 ;

⒔【解析】由 得 ，则 ，则在点 处的切线斜率为 ，所以切线方程为 ，即 .

⒕【解析】曲线 的直角坐标方程为 ，而直线 的普通方程为 ，曲线 与直线 平行，则 .

⒖【解析】 .①正确， ;②错误：由 ，知 或 ;③错误：令 ，得 ，由复合函数性质知 在每一个闭区间 上单调递增，但 ，故函数 在 上不是单调函数;④错误：将函数 的图象向右平移 个单位可得到 ;⑤错误：函数的对称中心的横坐标满足 ，解得 ，即对称中心坐标为 ，则点 不是其对称中心.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

⒘ (本小题满分12分)

证明：(Ⅰ)方法一：由 平面 ，得 ，

又 ，则 平面 ，

故 ， 3分

同理可得 ，则 为矩形，

又 ，则 为正方形，故 . 5分

方法二：由已知可得 ，设 为 的中点，则 ，则 平面 ，故平面 平面 ，则顶点 在底面 上的射影 必在 ，故 .

(Ⅱ)方法一:由(I)的证明过程知 平面 ，过 作 ，垂足为 ，则易证得 ，故 即为二面角 的平面角， 8分

由已知可得 ，则 ，故 ，则 ，

又 ，则 ， 10分

故 ，即二面角 的余弦值为 12分

方法二: 由(I)的证明过程知 为正方形，如图建立坐标系，

则 ， ， ，可得 ，8分

则 ， ，易知平面

的一个法向量为 ，设平面 的 一个法向量为 ，则由 得 10分

则 ，即二面角 的余弦值为 . 12分

⒙(本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)函数 的定义域为 。 1分

，令 得 3分

当 为增函数; 4分

当 为减函数， 5分

可知 有极大值为 6分

(Ⅱ)由于 ,所以立不等式 在区间 上恒成立，即 在 上恒成立，

设

由(Ⅰ)知， 在 处取得最大值 ， 12分

【参考题】(Ⅲ)已知 且 ，求证： .

∵ ，由上可知 在 上单调递增，

，即 ①，

同理 ②

两式相加得 ，

(Ⅱ)依题意知X的所有可能取值为2,4,6。6分

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有

，

，

，9分

则随机变量的分布列为

X246

P

故 .12分

⒛(本小题满分13分)

【解析】(Ⅰ)因为 ，

所以 ① 当 时， ，则 ，1分

② 当 时， ，2分

所以 ，即 ，

所以 ，而 ，3分

所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .

所以 ① ，

② ，6分

②-①得： ，7分

.9分

(Ⅲ)由(1)知 10分

，12分

所以

，

故不超过 的最大整数为 .13分

21.(本小题满分14分)

【解析】(Ⅰ)∵

∵直线 相切，

3分

∵椭圆 的方程是 6分

(Ⅱ)∵ ，

动点 到定直线 ： 的距离等于它到定点 的距离，

动点 的轨迹是 为 准线， 为焦点的抛物线 6分

点 的轨迹 的方程为 9分

(Ⅲ) ，设 、

∵ ，

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