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2014高考数学文科模拟试卷

2015-11-27 收藏

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练

数 学(文科)

第Ⅰ卷 选择题(共50分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1.设全集 集合 集合 ,则 =( )

A. B. C. D.

2.设复数 (其中 为虚数单位),则z的共轭复数 等于( )

A.1+ B. C. D.

3.已知条件p: ,条件q: ,则p是q的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

4.如右图的程序框图所示,若输入 ,则输出的值是( )

A. B.1 C. D. 2

5.若抛物线 上一点 到 轴的距离为3,则点 到抛物线的焦点 的距离为( )

A.3 B.4 C.5 D.7

6.公差不为零的等差数列第2,3,6项构成等比数列,则这三项的公比为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

7.已知 是单位向量,且 夹角为60,则 等于( )

A.1 B. C.3 D.

8.已知函数 对任意 ,有 ,且当 时, ,则函数 的大致图象为( )

9.设函数 ,则不等式 的解集是( )

A. B.

C. D.

10.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为( )

A. B. C.1 D.

第Ⅱ卷 非选择题(共100分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分,把答案填写在答题卡相应的位置)

11.若函数 的图象在 处的切线方程是 ,则 .

12.若椭圆的短轴为 ,它的一个焦点为 ,则满足 为等边三角形的椭圆的离心率是 .

13.已知变量 满足约束条件 ,则 的最大值为

14.若 则

15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)

A(选修44坐标系与参数方程)已知点 是曲线 上任意一点,则点 到直线 的距离的最小值是

B(选修45不等式选讲)已知 则 的最大值是

C(选修41几何证明选讲)如图, 内接于 , ,直线 切 于点C, 交 于点 .若 则 的长为 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)

16.(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:

(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?

(Ⅱ)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.

17.(本小题满分12分)在 中,角A,B,C的对边分别为 ,b,c,且满足 , .

(Ⅰ)求 的面积;

(Ⅱ)若 ,求边 与 的值.

18.(本小题满分12分)各项均为正数的等比数列 中, .

(Ⅰ)求数列 通项公式;

(Ⅱ)若等差数列 满足 ,求数列 的前 项和 .

19.(本小题满分12分)已知 是矩形, , 分别是线段 的中点, 平面 .

(Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)在棱 上找一点 ,使 ∥平面 ,并说明理由.

20.(本小题满分13分)已知函数 .

(Ⅰ)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)当 时,判断方程 在区间 上有无实根.

(Ⅲ)若 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.

21.(本题满分14分)已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,离心率 ,且点 在椭圆 上.

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)已知 、 为椭圆 上的动点,当 时,求证:直线 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练

数学(文科)参考答案与评分标准

一、选择题:

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 D A A D B C C C A D

二、填空题:

11.3 12. 13.11 14.

15.A ; C.

三、解答题

16.(本小题满分12分)

【解】:在100名电视观众中,收看新闻的观众共有45人,其中20至40岁的观众有18人,大于40岁的观众共有27人。

故按分层抽样方法,在应在大于40岁的观众中中抽取 人. 4分

(2)抽取的5人中,年龄大于40岁的有3人,分别记作1,2,3;20岁至40岁的观众有2人,分别高为 ,若从5人中任取2名观众记作 ,6分

则包含的总的基本事件有: 共10个。8分

其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有: 共6个. 10分

故 (恰有1名观众的年龄为20至40岁 12分

17. (本小题满分12分)

【解】:(Ⅰ)由正弦定理得 ,2分

, , ,6分

由 得 , 的面积为 .8分

(Ⅱ)因 ,故 ,10分

由余弦定理得 12分

18.(本小题满分12分)由条件知 2分

4分

(2)设数列 公差为 ,则 , 6分

8分

10分

12分

19.(本小题满分12分)

【解】:证明:在矩形ABCD中,因为AD=2AB,点F是BC的中点,所以AFB=DFC=45.

所以AFD=90,即AFFD. 4分

又PA平面ABCD,所以PAFD.所以FD平面PAF. 6分

(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H,

则EH//平面PFD,且 AH = AD.

再过H作HG//PD交PA于G, 9分

所以GH//平面PFD,且 AG= PA.

所以平面EHG//平面PFD. 11分

所以EG//平面PFD.

从而点G满足AG= PA. 12分

20.(本小题满分13分)

【解】:(1) 时, , ,切点坐标为 ,

切线方程为 3分

(2) 时,令 ,

, 在 上为增函数 5分

又 ,所以 在 内无实数根 7分

(3) 恒成立, 即 恒成立,

又 ,则当 时, 恒成立,9分

令 ,只需 小于 的最小值,

, 11分

, , 当 时 ,

在 上单调递减, 在 的最小值为 ,

则 的取值范围是 13分

21.(本小题满分14分)

【解】:(1)椭圆C的方程是: 4分

(2) 当直线l不垂直于x轴时,设 :

得 6分

8分

即 10分

当 时, 恒过定点

当 时, 恒过定点 ,不符合题意舍去 12分

当直线l垂直于x轴时,若直线AB: 则AB与椭圆C相交于 , , ,满足题意

综上可知,直线 恒过定点,且定点坐标为 14分

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