2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练

数 学(文科)

第Ⅰ卷 选择题(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.设全集 集合 集合 ，则 =( )

A. B. C. D.

2.设复数 (其中 为虚数单位)，则z的共轭复数 等于( )

A.1+ B. C. D.

3.已知条件p： ，条件q： ，则p是q的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

4.如右图的程序框图所示，若输入 ，则输出的值是( )

A. B.1 C. D. 2

5.若抛物线 上一点 到 轴的距离为3，则点 到抛物线的焦点 的距离为( )

A.3 B.4 C.5 D.7

6.公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

7.已知 是单位向量，且 夹角为60，则 等于( )

A.1 B. C.3 D.

8.已知函数 对任意 ，有 ，且当 时， ，则函数 的大致图象为( )

9.设函数 ，则不等式 的解集是( )

A. B.

C. D.

10.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )

A. B. C.1 D.

第Ⅱ卷 非选择题(共100分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置)

11.若函数 的图象在 处的切线方程是 ，则 .

12.若椭圆的短轴为 ，它的一个焦点为 ，则满足 为等边三角形的椭圆的离心率是 .

13.已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为

14.若 则

15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分)

A(选修44坐标系与参数方程)已知点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的距离的最小值是

B(选修45不等式选讲)已知 则 的最大值是

C(选修41几何证明选讲)如图， 内接于 ， ，直线 切 于点C， 交 于点 .若 则 的长为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)

16.(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?

(Ⅱ)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.

17.(本小题满分12分)在 中，角A,B,C的对边分别为 ,b,c,且满足 ， .

(Ⅰ)求 的面积;

(Ⅱ)若 ，求边 与 的值.

18.(本小题满分12分)各项均为正数的等比数列 中， .

(Ⅰ)求数列 通项公式;

(Ⅱ)若等差数列 满足 ，求数列 的前 项和 .

19.(本小题满分12分)已知 是矩形， ， 分别是线段 的中点， 平面 .

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)在棱 上找一点 ，使 ∥平面 ，并说明理由.

20.(本小题满分13分)已知函数 .

(Ⅰ)当 时，求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)当 时，判断方程 在区间 上有无实根.

(Ⅲ)若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

21.(本题满分14分)已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,离心率 ，且点 在椭圆 上.

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)已知 、 为椭圆 上的动点,当 时,求证:直线 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

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数学(文科)参考答案与评分标准

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 D A A D B C C C A D

二、填空题:

11.3 12. 13.11 14.

15.A ; C.

三、解答题

16.(本小题满分12分)

【解】：在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。

故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取 人. 4分

(2)抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3;20岁至40岁的观众有2人，分别高为 ，若从5人中任取2名观众记作 ，6分

则包含的总的基本事件有： 共10个。8分

其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有： 共6个. 10分

故 (恰有1名观众的年龄为20至40岁 12分

17. (本小题满分12分)

【解】：(Ⅰ)由正弦定理得 ，2分

， ， ，6分

由 得 ， 的面积为 .8分

(Ⅱ)因 ，故 ，10分

由余弦定理得 12分

18.(本小题满分12分)由条件知 2分

4分

(2)设数列 公差为 ，则 ， 6分

8分

10分

12分

19.(本小题满分12分)

【解】：证明：在矩形ABCD中，因为AD=2AB,点F是BC的中点,所以AFB=DFC=45.

所以AFD=90,即AFFD. 4分

又PA平面ABCD,所以PAFD.所以FD平面PAF. 6分

(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H,

则EH//平面PFD,且 AH = AD.

再过H作HG//PD交PA于G, 9分

所以GH//平面PFD,且 AG= PA.

所以平面EHG//平面PFD. 11分

所以EG//平面PFD.

从而点G满足AG= PA. 12分

20.(本小题满分13分)

【解】：(1) 时， ， ，切点坐标为 ，

切线方程为 3分

(2) 时，令 ，

， 在 上为增函数 5分

又 ，所以 在 内无实数根 7分

(3) 恒成立， 即 恒成立，

又 ，则当 时， 恒成立，9分

令 ，只需 小于 的最小值，

， 11分

， ， 当 时 ，

在 上单调递减， 在 的最小值为 ，

则 的取值范围是 13分

21.(本小题满分14分)

【解】：(1)椭圆C的方程是: 4分

(2) 当直线l不垂直于x轴时,设 ：

得 6分

8分

即 10分

当 时， 恒过定点

当 时， 恒过定点 ，不符合题意舍去 12分

当直线l垂直于x轴时，若直线AB： 则AB与椭圆C相交于 ， ， ，满足题意

综上可知，直线 恒过定点，且定点坐标为 14分