(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知命题p：若x2+y2=0(x，yR)，则x，y全为0;命题q：若ab，则1a1b.给出下列四个复合命题：①p且q;②p或q;③綈p;④綈q.其中真命题的个数是().高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!

A.1 B.2 C.3 D.4

解析 命题p为真，命题q为假，故pq真，綈q真.

答案 B

2.6+2kZ)是cos 2=12的().

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 当6+2kZ)时，cos 2=cos(4k3)=cos 3=12.反之当cos 2=12时，有2=2k3(kZ)=k6(kZ)，或2=2k3(kZ)=k6(kZ)，故应选A.

答案 A

3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|等于().

A.10 B.8 C.6 D.4

解析 由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.

答案 B

4.函数f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3处取得极值，则a等于().

A.2 B.3 C.4 D.5

解析 f(x)=3x2+2ax+3，∵f(-3)=0.3(-3)2+2a(-3)+3=0，a=5.

答案 D

5.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为().

A.y2=4x B.y2=8x

C.y2=4x D.y2=8x

解析 y2=ax的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-a4)，令x=0得y=-a2.12|a|4|a|2=4，a2=64，a=8.

答案 B

6.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有().

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析 在极小值点附近左负右正，有一个极小值点.

答案 A

7.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于().

A.3 B.2 C.5 D.6

解析 双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax，因为y=x2+1与渐近线相切，故x2+1bax=0只有一个实根，b2a2-4=0，c2-a2a2=4，c2a2=5，e=5.

答案 C

8.双曲线x2a2-y2b2=1与椭圆x2m2+y2b2=1(a0，m0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是().

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形

解析 双曲线的离心率e21=a2+b2a2，椭圆的离心率e22=m2-b2m2，由已知e21e22=1，即a2+b2a2m2-b2m2=1，化简，得a2+b2=m2.

答案 C

9.函数y=xln x在(0，5)上是().

A.单调增函数

B.单调减函数

C.在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减

D.在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增

解析 f(x)=ln x+x1x=ln x+1(x0).

令f(x)=0，得x=1e，

在x0，1e上，f(x)0，在x1e，5，f(x)0，故选D.

答案 D

10.若0

A.2x3sin x B.2x3sin x

C.2x=3sin x D.与x的取值有关

解析 令f(x)=2x-3sin x，则f(x)=2-3cos x.

当cosx23时，f(x)0，

当cos x=23时，f(x)=0，

当cos x23时，f(x)0.

即当0

而f(0)=0，f-30.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关.故选D.

答案 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)

11.给出下列结论：

①若命题p：xR，tan x=1;命题q：xR，x2-x+10，则命题p綈q是假命题;

②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是ab=-3;

③命题若x2-3x+2=0，则x=1的逆否命题为：若x1，则x2-3x+2.

其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上).

解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p綈q为假命题，故①正确;对于②，当b=a=0时，有l1l2，故②不正确;易知③正确.所以正确结论的序号为①③.

答案 ①③

12.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________.

解析 依题意设双曲线的方程x2-y24=(0)，将点(2，2)代入求得=3，所以所求双曲线的标准方程为x23-y212=1.

答案 x23-y212=1

13.曲线y=xx-2在点(1，-1)处的切线方程为________.

解析 y=x-2-x(x-2)2=-2(x-2)2，y|x=1=-2，

故所求切线方程为y+1=-2(x-1)，即2x+y-1=0.

答案 2x+y-1=0

14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，则△PF1F2的面积为______.

解析 ∵PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由椭圆方程知a=5，b=3，c=4，

|PF1|2+|PF2|2=4c2=64，|PF1|+|PF2|=2a=10，解得|PF1||PF2|=18.△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=1218=9.

答案 9

三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(10分)已知命题p：方程x22m+y29-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25-x2m=1的离心率e(62，2)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.

解 若p真，则有9-m0，

即00，

且e2=1+b2a2=1+m5(32，2)，即52

若p、q中有且只有一个为真命题，则p、q一真一假.

①若p真、q假，

则0

②若p假、q真，

则m3或m0，且52

故所求范围为：0

16.(10分)已知函数f(x)=ax-ln x，若f(x)1在区间(1，+)内恒成立，求实数a的取值范围.

解 由f(x)1，得ax-ln x-10.

即a1+ln xx在区间(1，+)内恒成立.

设g(x)=1+ln xx，则g(x)=-ln xx2，

∵x1，g(x)0.

g(x)=1+ln xx在区间(1，+)内单调递减.

g(x)

即1+ln xx1在区间(1，+)内恒成立，a1.

17.(10分)已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.

(1)求a的取值范围;

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值.

解 (1)由y=ax+1，3x2-y2=1消去y，

得(3-a2)x2-2ax-2=0.

依题意得3-a20，0，即-6

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2a3-a2，x1x2=-23-a2.

∵以AB为直径的圆过原点，OAOB，

x1x2+y1y2=0，

即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0，

即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.

(a2+1)-23-a2+a2a3-a2+1=0，

a=1，满足(1)所求的取值范围.故a=1.

18.(12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元?

解 设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15-m)辆车，

则总利润y=5.06m-0.15m2+2(15-m)=-0.15m2+3.06m+30，所以y=-0.3m+3.06.

令y=0，得m=10.2.

当010.2时，y0;

当10.2

故当m=10.2时，y取得极大值，也就是最大值.

又由于m为正整数，且当m=10时，y=45.6;

当m=11时，y=45.51.

故该公司获得的最大利润为45.6万元.

19.(12分)设圆C与两圆(x+5)2+y2=4，(x-5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切.

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;

(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.

解 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.

圆(x+5)2+y2=4的圆心为F1(-5，0)，半径为2，

圆(x-5)2+y2=4的圆心为F(5，0)，半径为2.

由题意得|CF1|=r+2，|CF|=r-2或|CF1|=r-2，|CF|=r+2，

||CF1|-|CF||=4.∵|F1F|=254，

圆C的圆心轨迹是以F1(-5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24-y2=1.

(2)由图知，||MP|-|FP|||MF|，

当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|-|FP|取得最大值|MF|，

且|MF|=(355-5)2+(455-0)2=2.

直线MF的方程为y=-2x+25，与双曲线方程联立得

y=-2x+25，x24-y2=1，整理得15x2-325x+84=0.

解得x1=14515(舍去)，x2=655.此时y=-255.

当||MP|-|FP||取得最大值2时，点P的坐标为

(655，- ).高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!