2012-02-24
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函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型,反映的是什么样的规律呢?这也就是函数概念的核心的问题。纵观300年来函数概念的发展,从早期几何观念下的函数,到十八世纪代数观念下的函数,到十九世纪对应关系下的函数,再到现代的集合论下的函数,众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度,不断赋予函数概念以新的思想,逐渐形成了现代函数的定义形式。而在初中学段引入的函数概念,是从运动变化的观点出发,用“变量”来描述函数:“在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,则称x为自变量,y为x的函数”。分析这个定义对函数概念内涵的文字描述,可以发现,它强调了近代函数定义中的“对应”,并且明确了“y对x是单值对应”,这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求,但是没有从“集合”角度描述函数。因此可以认为,初中数学中的函数概念的核心,是函数概念三要素中的对应关系,并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义:第一,两个变量是互相联系的,一个变量变化时,另一个变量也发生变化;第二,函数与自变量之间是单值对应关系,自变量的值确定后,函数的值是唯一确定的。
函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。学生初次接触函数概念时,涉及到很多复杂的层次,包括:
(1)在一个“变化”过程中;
(2)存在“两个”变量;
(3)这两个变量具有一定的“联系”;
(4)一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化;
(5)两个变量存在“单值对应”的关系。这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。另外,学生在学习函数概念之前,接触的基本上是常量数学的内容,是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系,其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此,函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。
学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程,概念形成和概念同化反映了学生掌握概念的两种不同心理过程。根据中学生的认知特点,掌握概念的方式,应更多的采用概念形成,即从典型、丰富的具体例子出发,学生经过自己的实践活动,从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征,从而理解和掌握概念。为了帮助学生形成函数概念,教学中要注意“举三反一”——通过给学生大量客观世界中反映这种变化规律的实例(解析式的、图象的、表格的),让学生经历“发生发展过程”,为学生提供独立概括概念的机会,经过分析、综合、比较而概括出函数概念“单值对应”的本质属性。在此基础上,再“举一反三”——用学生得到的函数概念再去看其他的对应问题,是不是符合函数概念的“单值对应”。在这一过程中,要注意恰当地使用反例,巩固学生对于函数概念的理解。
同样,对于特殊的函数(如正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等),也要注意把握其概念的核心,注意概念的形成的教学。理解概念是一切数学活动的基础,学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。对于函数概念教学的重要性要有充分的认识,要舍得花时间、花力气。
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