高二数学余弦定理训练题

高二数学余弦定理训练1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120，则边c的值是()

A.8 B.217

C.62 D.219

解析：选D.根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-246cos 120=76，c=219.

2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120，则sin A的值为()

A.5719 B.217

C.338 D.-5719

解析：选A.c2=a2+b2-2abcos C

=22+32-223cos 120=19.

c=19.

由asin A=csin C得sin A=5719.

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.

解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2+4a2-a222a2a=78.

答案：78

4.在△ABC中，若B=60，2b=a+c，试判断△ABC的形状.

解：法一：根据余弦定理得

b2=a2+c2-2accos B.

∵B=60，2b=a+c，

(a+c2)2=a2+c2-2accos 60，

整理得(a-c)2=0，a=c.

△ABC是正三角形.

法二：根据正弦定理，

2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.

又∵B=60，A+C=120，

C=120-A，

2sin 60=sin A+sin(120-A)，

整理得sin(A+30)=1，

A=60，C=60.

△ABC是正三角形.

课时训练

一、选择题

1.在△ABC中，符合余弦定理的是()

A.c2=a2+b2-2abcos C

B.c2=a2-b2-2bccos A

C.b2=a2-c2-2bccos A

D.cos C=a2+b2+c22ab

解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.

2.(2011年合肥检测)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，则最大角的余弦值是()

A.1213 B.513

C.0 D.23

解析：选C.∵ca，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.

3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.不能确定

解析：选B.∵42=1622+32=13，边长为4的边所对的角是钝角，△ABC是钝角三角形.

4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为()

A. B.6

C.2 D.3或23

解析：选C.由已知得b2+c2-a2=-bc，

cos A=b2+c2-a22bc=-12，

又∵0

5.在△ABC中，下列关系式

①asin B=bsin A

②a=bcos C+ccos B

③a2+b2-c2=2abcos C

④b=csin A+asin C

一定成立的有()

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)，显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，则不一定成立.

6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于()

A.14 B.34

C.24 D.23

解析：选B.∵b2=ac，c=2a，

b2=2a2，

cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a

=34.

二、填空题

7.在△ABC中，若A=120，AB=5，BC=7，则AC=________.

解析：由余弦定理，

得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，

即49=25+AC2-25AC(-12)，

AC2+5AC-24=0.

AC=3或AC=-8(舍去).

答案：3

8.已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是________.

解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42+52-24512=21，第三边长是21.

答案：21

9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，则B的大小是________.

解析：由正弦定理，

得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.

不妨设a=5k，b=7k，c=8k，

则cos B=5k2+8k2-7k225k8k=12，

B=3.

答案：3

三、解答题

10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.

解：A为b，c的夹角，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，

16=9+c2-635c，

整理得5c2-18c-35=0.

解得c=5或c=-75(舍).

由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-25243=0，

∵0

11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.

解：由题意可知，

(a+b+c)(a+b-c)=3ab，

于是有a2+2ab+b2-c2=3ab，

即a2+b2-c22ab=12，

所以cos C=12，所以C=60.

12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，试判断△ABC的形状.

解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，

得c=aa2+c2-b22ac，c2+b2=a2，

△ABC是以A为直角的直角三角形.

又∵b=asin C，b=aca，b=c，

△ABC也是等腰三角形.

综上所述，△ABC是等腰直角三角形.