平行是几何概念，在认识直线以后教学。启东蔡宏圣老师的教学实录，常州赵智敏老师的教学设计，都先让学生在熟悉的活动中提取已有经验，再观察、比较、分类，由表及里地体会概念的本质属性，然后识别生活里的平行现象，加强对概念的理解。这些安排，尊重学生的数学现实，符合认知原理，较好地体现了教材的意图。

我们能够看到蔡老师厚实的教学功底和先进的教学理念。表现在：一是课的导入细致，处处为学生着想。从两支铅笔掉在地上的情境，思考可能出现哪些情况，引导学生利用经验充分想象；用两条直线表示掉在地上的两支铅笔，让学生画出可能出现的各种情况，感受数学知识与方法能表达生活现象，为认识平行积累感知材料；为学生提供点子图，便于画出不相交的直线，初步感知不相交的含义。二是课中交流有深度，时时和学生互动。如，教师指着图形问：这两条直线相交吗？学生异口同声回答：不相交。他一边板书不相交，一边说：我们没有看到相交，但不知把两条直线画得长一些，是什么结果？这句启发性的话语，引导学生用直线概念分析现象，画出或想出这两条直线是相交的，纠正了原来的认识偏差。再如，教师指着图形问：这两条直线也相交吗？引导学生通过多种方法进行验证，确认这两条直线不相交

赵老师对教材的使用比较充分，教师努力理解教材设计的教学线索和主要活动，尽量把教材意图落实到教学之中。为了使学生理解直线的相交与不相交，引导学生摆小棒、画直线，对大量感知材料进行分类、比较；为了突出平行是两条直线的位置关系，结合实例及时板书互相平行，还让学生说说谁是谁的平行线。教师还精心安排教材中试一试想想做做的教学，从安排时间看，有利于及时巩固概念、形成技能；从教法看，预设了交流、反馈与评价

研究两位老师的教学，联想许多教师在教学中存在的困惑，有几点想法和大家交流。

第一，教材第87页例题有三层内容，首先联系现实情境，教学两条直线相交与不相交；然后利用两条直线不相交，教学平行的概念；最后说一说生活中常见的平行实例，用数学知识描述、解释生活现象。

本单元的教学重点是平行和垂直。以前教材的单元标题为平行与垂直或垂线与平行线。本单元的标题为什么用平行和相交？为什么先教学直线的相交与不相交？这些问题都应在钻研教材时弄明白。

可以从三个方面来回答上面的问题。首先，同一平面内的两条直线，可能相交，可能不相交，还可能重合。相交与不相交是常见的位置关系，学生在生活中已有经验积累，而重合不适宜小学生学习。先教学直线的相交与不相交，能把生活经验提升成数学概念。其次，同一平面内不相交是平行概念的内涵，两条直线相交成直角称互相垂直。可见，同一平面内不相交与互相平行具有同一性，而相交与垂直是属种关系，后者是前者的真子集。先教学直线的相交与不相交，能形成关于平行、垂直的上位观念。这样，全单元的重点就不会是孤立的，而是有结构的。再次，先认识直线的相交与不相交，就能通过下位学习，理解平行与垂直。这是公认的、比较好的认知线索与方式。

既然认识两条直线相交与不相交是例题的一个教学层次，那么其教学过程就需要有相应的完整性。尽管两位教师都引导学生收集丰富的感知材料，开展扎实的感知活动，认识两条直线相交或不相交，但总感觉还缺了一点。蔡老师的一句话经过一番分析，看来画在点子图上的两条直线或者相交，或者不相交，可以作为这一段教学的小结。如果改造成学生的回顾及小结，变成学生主动的知识建构，就能更充分发挥上位观念对后继学习的积极意义，为理解平行、垂直构建认知平台。赵老师在联系感知材料，指出两条直线相交、不相交后，立即从不相交引出平行，显得有点仓促。适时安排学生回顾、再认学习过程，是《数学课程标准（实验稿）》对教学活动的要求。

第二，在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。不相交是概念的内涵，在同一平面内是不可或缺的前提。学生在感知两条直线的常见位置关系时，对不相交已有感受，因而建立互相平行这个概念时，会关注不相交，疏忽在同一平面内。为此，两位教师都力求解决这个矛盾。

数学概念是严密的。概念的严密性要求概念教学也必须是严谨的。两条异面直线虽然不相交，但不一定平行。所以，教学直线互相平行，必须指出它们在同一平面内。数学概念的建立可以分阶段，学生对概念中的某一内容，如果受基础知识、思维发展水平的制约，暂时不能透彻理解，应允许他们先知道，再逐渐深刻领会。在缺乏条件的状况下，勉强让他们理解异面直线，恐怕很难达到要求，即使教学投入大量时间和精力，也未必有效。

教学中怎样妥善处理同一平面内呢？首先，教材与教学给学生提供的感知材料，如掉在地面上的两支铅笔，摆在桌面上的两根小棒，画在纸上的两条直线，都在同一平面上。因此，揭示互相平行的含义时，可以联系具体材料，先指出铅笔、小棒、直线都在同一平面内。其次，可以适当举出浅显的实例，如桌面上的一条直线与地面上的一条直线，它们不在同一平面内，即使不相交，也不一定互相平行。以此提醒学生注意，我们说的互相平行指的是在同一平面内的直线。并可进一步告诉学生，到中学数学的学习中将会更明白。再次，不要把在同一平面内作为练习与考查的知识点。可以让学生判断画在试卷上的几组直线，哪些互相平行，哪些不平行，不必让他们判断两条不相交的直线互相平行这句话是对还是错。

我赞同蔡老师在反思中说的：同一平面内是绕不开的坎，不能不讲讲得过于深，也没必要。他选择立交桥上、下汽车行驶路线作例子也是可以的。赵老师把同一平面内作为教学难点，力求在长方体上突破，无论对教还是学，要求都偏高了。两位老师首次讲互相平行，都只突出不相交，把在同一平面内留到后面补充说明，似乎把有关平行的两个重点逐一教学。其实，他们首次讲的互相平行并不严密，在学生建立新概念的最佳时刻，给予不完整的信息，应该是教学的缺陷。

第三，教材里有关画平行线的内容也比较多。第88页例题先让学生自己找工具想办法画一组平行线，再沿着直尺平移三角尺，画出一组平行线。第89页第2题，把长方形纸对折两次，折痕是平行线。

编排画平行线的目的，一是进一步体验两条直线互相平行的含义。互相平行的直线永不相交，为了画出不相交的两条直线，可以借助有平行对边或有平行线的物体为工具，沿着平行的对边或平行的线画，物体平移前、后，相对应的线段互相平行，可以通过平移有直边的物体画出平行线；把长方形纸连续对折，折痕在两条对边之间，互相平行且长度相等，有助于体会长方形的两条对边也是平行的。二是培养初步的画图能力，在生活和学习中，经常需要画一组平行线，或者画已知直线的平行线。直尺与三角尺是画平行线的工具，掌握了画平行线的方法，既能方便地画出平行线，还能用来检验两条直线是不是平行。

蔡老师在反思中说：技能与知识本是同根，有了知识的支撑，技能完全可能是学生心智生长的结晶，技能的学习过程完全可以富有生命成长的气息。他是这样想的，也是这样做的。教学的抽象阶段，课件演示小旗沿直尺平移的情境，在平移前后的图形中寻找平行线，渗透了画平行线的方法。教学的操作阶段，学生在徒手移动直尺画平行线时，自发需要另一根直尺作轨道帮助平移，不仅知道了可以怎样画，还明白了为什么这样画。画平行线的方法不再是机械的程序知识，不再是缺少思维含量的纯粹模仿。这一段教学是该课的亮点，值得大家借鉴。教材里的想想做做，蔡老师的实录中没有看到，也许受篇幅限制删去了。赵老师把想想做做分两段进行，在教学互相平行的概念后，安排第1～3题；在教学画平行线后，安排第4、5题，这样安排是可以的，如果把部分题目二次使用，就更好了。如第1题，在初步理解互相平行之后凭观察、想象做出相应的判断。在教学画平行线以后再练习这道题，用画平行线的工具与方法验证。又如第2题也可以二次使用，第一次直观判断，第二次操作验证。像这些习题二次使用，既有助于及时消化、巩固新知识，又有助于知识与技能有机融合。

第四，数学教学讲究语言准确，尤其是几何知识的教学，稍不留心，就会用词不妥当。两位教师都有这种情况。距离是两点之间线段的长度。点到直线的距离，是这点到这条直线的垂直线段的长度，即点与垂足之间的距离。两条互相平行的直线的距离，是夹在两条直线之间、垂直于两条直线的线段长度，即两个对应的垂足间的距离。这些距离都是数学概念。

两条相交的直线，虽然从一条直线上任取一点，能够画出另一条直线的垂直线段，但画成的垂直线段的长度在区间无限长与0之间，是不稳定的。数学里把两条相交直线之间的距离定义为0。

蔡老师用生活概念两条直线间的宽度，引导学生度量、比较两条直线间的宽度，体会图形 里的两条直线相交，图形里的两条直线不相交。这一环节的设计，对学生理解平行概念可能会起到一定的作用，但仔细斟酌，其实不够妥当，也没有必要。首先，生活概念是日常生活中积淀的与数学有关的认识，这种认识经常不系统、不深刻，甚至不准确。生活概念有时支持数学概念，有时干扰数学概念。教学中，指出相交直线有宽度，还要度量和比较，这样处理显然是不妥当的。其次，本节课是认识平行的第一课时，只要求在直观情境中，通过观察和想象，判断两条直线是不是互相平行，也可以利用画平行线的方法帮助判断。给学生的直观情境，两条直线的位置关系比较明显，几乎一眼就能看出。对图形里的两条直线，学生的交流画长一些会相交，那条直线斜过来了，表明他们已经看出这两条直线的位置关系，确信两条直线相交。对图形里两条直线不相交，例题只要求学生直观判断，不要求解释或验证。再次，结合教学垂直，学生还有深入认识平行的机会，如第45页第2题两条平行线之间的垂直线段都相等。可见，教学两条直线相交或不相交，没有必要使用两条直线间的宽度。

直线与线段是两种几何图形，它们有联系，更有质的区别，赵老师在教学设计里有些疏忽。如把每个图形中的两条直线都向两端无限延长，结果会怎样？直线是没有端点、无限长的，怎么向两端无限延长呢？这句话要改成把图形中的直线画长一点，看看会怎样？又如学生根据小棒画成的图形，看成直线还是看成线段？同一平面内两条直线或是相交、或是平行，而同一平面内两条线段还可能既不平行，又不相交。教学中把图形里的线一会儿说是直线，一会儿说是线段不大好。