古代，漫长的冬天的夜晚，猛烈的暴风雪呼啸着．一个并不舒适的山洞里面，炉火闪着光，怪诞的阴影在洞壁上舞动着．此刻，我们的祖先正躺在炉火旁边．他想了些什么呢？他迟钝而笨拙的思想，朦胧的意识，回忆式的思考都有些什么内容呢？

我们将尝试推出这些思想的内容．只是一开始就要假定这种推测只是一个梗概；我们要让假想的这位在奄奄一息的炉火旁度过一个冬夜的祖先按照我们这样规定的表现方法度过一个夜晚．这一夜相当于他还没有变成人类的先祖所花费的千百万年和他已经变成人类的祖先所经历的多少千年．

我们想象中的这位祖先想的是：“在我面前有许许多多不同的事物．怎样去理解这些事物呢？这是一块石头，而那是一根猛犸长牙．如果将来我总能看出石头是石头，长牙是长牙，那我就行了．把我周围事物全部性质都记住，这太复杂了．我要牢记在心的只是这当中的某些性质，我要留心研究的正是这样一些性质．我能简单地把杂乱无章的事物理出个头绪来，就会感到轻松一些．生活是十分残酷的．它在漫长的时间里不断地打击我．到了从中吸取一些教训的时候了，否则，我对面那个洞穴里的熊邻居很快就会战胜我．我一定要想办法战胜它．”

“看了这块石头和这根象牙，我发现了什么呢？我发现，可以把它们和我的手指头相比较．一块石头只相当于一个指头，比方说相当于大拇指．一块石头和一根象牙放在一起就相当于一个大拇指和一个食指，如果我把这块兽皮也归到一块儿，就还需要一个中指．”

慢腾腾，迟缓缓的思绪继续着：“所有这一切我将怎样称呼呢？我要说我在同许多数字打交道，就是说，我把越来越多的物体比作一个越来越大的数字．这样，我就能把随便多少个物体都数过来了．．．”

山洞外边的暴风雪的呼啸声使他听不清远处饿狼的嗥叫声，我们的这位祖先转过头来，出神地注视着遮挡洞口的一大块沉甸甸的扁平石头．一束束干草已经把这块石头和洞壁间的所有缝隙堵得严严实实．在一种不安的静听中，几分钟过去了．没有野兽，它们没有力量挪动这块大石头，突然出现的惊慌又渐渐地消除了．于是，打断了的思路又开始畅通了：

“数．．．这是什么？我所想到的这些是无所谓的吗？乍一看，好像无所谓；可这只是第一眼的印象．再过几千年，我的能为许许多多事物命名的后代会认为这好极了，这真是创造，在人类的全部历史中，我想不出有什么比数这个概念更伟大，更完美的了．数的概念之所以伟大而堪称创造，是因为它简便．之所以简便，是因为它的发现是长期地，痛苦地，不自觉地探索的结果．我的邻居熊永远是熊，就是因为它始终想象不出来这样简便的事物来．．．

“就这样，我找到了数的概念．我周围的许多物体所具有的非常重要的性质之一，就是可以用数来比较，这对于所有的物体来说是共同的．可是，物体还有一些其他的共同属性，如果我不想和熊或猛犸一样的话，我也应当注意到这些属性．我发现石头不管怎么转动都不能和象牙混在一起．甚至如果我把象牙拿走，那么原来放象牙的地方怎么也放不进石头去．这怎样才能用语言说明百呢？我要说石头和象牙具有不同的形状．披在我肩上的这块兽皮也有自己的形状，和石头，象牙的形状都不同．

“这样，我所看到的每一样物体都有一定的形状．为了不过于分散精力，我现在要考虑什么和我找到的这个新概念－－－形状相联系．让我把关于这个问题的思考的整个总体叫做几何学吧．我的后代把这个总体叫做几何学，并将赋予它比我现在所赋予它的丰富得多的内容．这当然是他们的事情，否则他们就不能认为是我的后代．后来的每一代人都应当比上一代人知道的更多．”

我们的祖先站起身来，拿一根满是枝节的木棍拨了拨炭火，随后又往火里加了些白天从附近的小树林里面捡回来的干树枝．火焰升腾起来，窜到洞顶，奇形怪状的阴影在洞壁上舞动得更加活跃了．黑暗远离了炉火，躲藏到远处的角落里去了．我们的祖先把披在肩上的加工粗糙的厚厚的熊皮掩了掩，目光扫了扫放在山洞深处的一块猛犸肉，就又躺到炉火旁边用干草铺成的草垫子上了．

思绪就像无限大的线球上的一根无限长的丝线一样，又牵动了起来：“几何学，我首先发现的这门科学的名称当然是由很久以后的希腊人确定的，我只是朴素地预想到了它．这门科学会包含些什么内容呢？

“我面前所见到的是许多草棍儿，还有石头的侧面．在这里，有一束细长的光线透过炉灶的窟窿眼映射到洞顶上．所有这些东西有什么共同之处呢？我觉得它们都是直线的一部分．这些线可长可短．如果我逐个地分别地去观察它们，这样来弄清楚它们是什么样的，这对我来说，恐怕将是十分困难的，因为我得把许多繁琐的细节背的烂熟．为了方便，我尝试着把直线看作是无限的．有人会说，我这样想是存心开玩笑，实际上在我们周围的物体中间，将找不出一条可以称为这样无限的直线来．这就让人去说吧．我自己能想象出这样的直线，我根据能摸，能摘，能扔的许多具体的物体能完成一个自觉的思维过程．我的后代将因为我想象出这条无限的直线而感谢我，他们借助这样的直线去认识世界，将比没有它方便的多．”

他严峻的面孔上浮现出一丝并不好看的笑容，脑子里忽然出现一个念头：他的这些后代会是怎样的呢？他们会象他这样坐在荒野中不曾住人的山洞的篝火旁边呢？还是建造出另一个样子的更舒适的住宅呢？他们吃什么？穿什么呢？他们利用数和形的概念能获得什么成果呢？他们在自己未来的收获中能想到他是付出怎样巨大的劳动才获得的如此重要而又如此科学的概念的吗？

“我还看到了什么呢？我发现石头有的大，有的小，还有的更小．总之，如果我愿意，我还可以设想有任意小的石头．一个新的几何学概念不能与此相联系吗？我要联系．我要给这个新的概念命个名，叫做点．同样是为了方便，我将认为点即没有长度，也没有高度．我为什么这样做呢？这是因为我和我的后人运用这样的点比使得它带有长、宽、高要方便的多．．．”

就这样，我们的祖先通过思考，还得到了平面的概念，互相垂直和互相平行的直线，相似图形等概念．不过，事情并不象我们想象的这样简单．上述概念完全不是我们的远祖自觉意识的产物．所有这一切的产生都是不自觉的，自发的，没有对概念加以区别并互相比较的意识．所以这一切是发生在千百万年的漫长的历史时期．关于所发现的图形的这些性质的理性概念出现的更晚．我们的远祖那时还没有科学，有的只是智慧的微光，同时应当公正地评价说：这是天才的闪光．．．