2015-09-09
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9.已知,在Rt△OAB中,OAB=900,BOA=300,AB=2。若以O为坐标原点,OA所在直线为 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处。
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线 ( 0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作 轴的平行线,交抛物线于点M。问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由。
注:抛物线 ( 0)的顶点坐标为 ,对称轴公式为
解: (1)过点C作CH 轴,垂足为H
∵在Rt△OAB中,OAB=900,BOA=300,AB
OB=4,OA= 由折叠知,COB=300,OC=OA= COH=600,OH= ,CH=3
C点坐标为( ,3)
(2)∵抛物线 ( 0)经过C( ,3)、A( ,0)两点
解得: 此抛物线的解析式为: (3)
存在。因为 的顶点坐标为( ,3)即为点C
MP 轴,设垂足为N,PN= ,因为BOA=300,所以ON= P( , )
作PQCD,垂足为Q,MECD,垂足为E
把 代入 得: M( , ),E( , )
同理:Q( , ),D( ,1)
要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD
即 ,解得: , (舍)
P点坐标为( , )
存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐为( , )
10.如图,抛物线 与x轴交A、B两点(A
点在B点左侧),直线 与抛物线交于A、C两点,其中
C点的横坐标为2.
(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平
行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,
使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是
平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F
点坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1)令y=0,解得 或 A(-1,0)B(3,0);
将C点的横坐标x=2代入 得y=-3,C(2,-3)
直线AC的函数解析式是y=-x-1
(2)设P点的横坐标为x(-12)
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1),
E( ∵P点在E点的上方,PE= 当 时,PE的最大值= (3)存在4个这样的点F,分别是 11.如图,抛物线 经过 的三个顶点,已知 轴,点 在 轴上,点 在 轴上,且 .
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出 三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点,是否存在 是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点 坐标;不存在,请说明理由.
解:(1)抛物线的对称轴 (2) 把点 坐标代入 中,解得
(3)存在符合条件的点 共有3个.以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与 轴交于 ,与 交于 .
过点 作 轴于 ,易得 , , , ① 以 为腰且顶角为角 的 有1个: .
在 中, ②以 为腰且顶角为角 的 有1个: .
在 中, ③以 为底,顶角为角 的 有1个,即 .
画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ,此时平分线必过等腰 的顶点 .
过点 作 垂直 轴,垂足为 ,显然 .
.
于是
12.如图,对称轴为直线 的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E( , )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与 之间的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由抛物线的对称轴是 ,可设解析式为 .
把A、B两点坐标代入上式,得
解之,得 故抛物线解析式为 ,顶点为 (2)∵点 在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合
,
y0,即 -y0,-y表示点E到OA的距离.
∵OA是 的对角线,
.
因为抛物线与 轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量 的
取值范围是16.
① 根据题意,当S = 24时,即 .
化简,得 解之,得 故所求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4).
点E1(3,-4)满足OE = AE,所以 是菱形;
点E2(4,-4)不满足OE = AE,所以 不是菱形.
② 当OAEF,且OA = EF时, 是正方形,此时点E的
坐标只能是(3,-3).
而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,
使 为正方形.
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