A级　基础题

1.(2013年四川宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是()

A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等

2.(2013年四川巴中)如图4­3­35，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是()

A.24 B.16 C.4 13 D.2 13

3.(2013年海南)如图4­3­36，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()

A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60°

4.(2013年内蒙古赤峰)如图4­3­37,4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABDC与S四边形ECDF的大小关系是()

A.S四边形ABDC=S四边形ECDF B.S四边形ABDC < S四边形ECDF

C.S四边形ABDC=S四边形ECDF+1 D.S四边形ABDC=S四边形ECDF+2

5.(2013年四川凉山州)如图4­3­38，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()

A.14 B.15 C.16 D.17

6.(2013年湖南邵阳)如图4­3­39，将△ABC绕AC的中点O按顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件____________，使四边形ABCD为矩形.

7.(2013年宁夏)如图4­3­40，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.

求证：DF=DC.

8.如图4­3­41，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形.

9.(2013年辽宁铁岭)如图4­3­42，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE.

(1)求证：四边形AEBD是矩形;

(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由.

B级　中等题

10.(2013年四川南充)如图4­3­43，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是()

A.12 B. 24 C. 12 3 D. 16 3

11.(2013年内蒙古呼和浩特)如图4­3­44，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC=8，BD=6，则四边形EFGH 的面积为________.

12.(2013年福建莆田)如图4­3­45，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP=1，点Q是 AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为____________.

13.(2013年山东青岛)已知：如图4­3­46，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.

(1)求证：△ABM≌△DCM;

(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论;

(3)当AD∶AB=__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明).

C级　拔尖题

14.(2013年内蒙古赤峰)如图4­3­47，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60 cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤ 15).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE=DF;

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值;如果不能，请说明理由;

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由.

参考答案

1.B　2.C　3.B　4.A　5.C

6.∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°

7.证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD∥BC，∠B=90°.

∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°.

∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.

又∵AD=AE，∴△ADF≌△EAB.

∴DF=AB.∴DF=DC.

8.证明：由平移变换的性质，得

CF=AD=10 cm，DF=AC，

∵∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，

∴AC2=AB2+CB2，即AC=10 cm.

∴AC=DF=AD=CF=10 cm.

∴四边形ACFD是菱形.

9.(1)证明：∵点O为AB的中点，OE=OD，

∴四边形AEBD是平行四边形.

∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.

∴四边形AEBD是矩形.

(2)解：当△ABC是等腰直角三角形时，

矩形AEBD是正方形.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAD=∠CAD=∠DBA=45°.∴BD=AD.

由(1)知四边形AEBD是矩形，

∴四边形AEBD是正方形.

10.D　11.12

12.5　解析：连接BP，交AC于点Q，连接QD.∵点B与点D关于AC对称，∴BP的长即为PQ+DQ的最小值，

∵CB=4，DP=1.∴CP=3，在Rt△BCP中，

BP=BC2+CP2=42+32=5.

13.(1)证明：在矩形ABCD中，

AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中点，∴AM=DM.

∴△ABM≌△DCM(SAS).

(2)解：四边形MENF是菱形.证明如下：

E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，

∴NE∥MF，NE=MF.

∴四边形MENF是平行四边形.

由(1)，得BM=CM，∴ME=MF.

∴四边形MENF是菱形.

(3)2∶1　解析：当AD∶AB=2∶1时，四边形MENF是正方形.理由：

∵M为AD中点，∴AD=2AM.

∵AD∶AB=2∶1，∴AM=AB.

∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°.

同理∠DMC=45°，∴∠EMF=180°-45°-45°=90°.

∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形.

14.解：(1)在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，

∴DF=2t，又∵AE=2t，∴AE=DF.

(2)能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.

当AE=AD时，四边形AEFD是菱形，即60-4t=2t.

解得t=10 s，

∴当t=10 s时，四边形AEFD为菱形.

(3)①当∠DEF=90°时，由(2)知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°.

∵∠A=60°，∴AD=AE•cos60°=t.

又AD=60-4t，即60-4t=t，解得t=12 s.

②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中，∠A=60°，则∠ADE=30°.

∴AD=2AE，即60-4t=4t，解得t=152 s.

③若∠EFD=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在.

综上所述，当t=152 s或t=12 s时，△DEF为直角三角形.