平面的基本性质与推论检测考试题（附答案） 1.2.1 平面的基本性质与推论 优化训练

1.下列命题：

①公理1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α;

②四边形的两条对角线必相交于一点;

③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线;

④梯形是平面图形.

其中，正确的命题个数为()

A.1B.2

C.3 D.4

解析：选A.①中应为l?α;②中空间四边形对角线异面;③中平面没有界线.

2.空间中可以确定一个平面的条件是()

A.两条直线 B.一点和一直线

C.一个三角形 D.三个点

答案：C

3.点M在直线a上，直线a在平面α内，可记为()

A.M?a?α B.M∈a?α

C.M∈a∈α D.M?a∈α

答案：B

4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面的个数是________.

答案：1个或3个

5.假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时，能使板面固定，这个道理是________.

答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面

1.如图，平面α∩平面β=l，A∈α，B∈α，AB∩l=D，C∈β，且C?l，则平面ABC与平面β的交线是()

A.直线AC

B.直线BC

C.直线AB

D.直线CD

解析：选D.由题意知平面ABC与平面β有公共点C，根据基本性质3，这两平面必定相交，有且只有一条经过点C的交线.由于两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC内;而D在直线l上，所以它又在平面β内，这样D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC与平面β的交线是直线CD.

2.如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱共有()

A.3条

B.4条

C.5条

D.6条

解析：选B.依据异面直线的判定定理找与AA1异面的棱.∵AA1在面A1ABB1内，B1在面A1ABB1内，C1不在面A1ABB1内，∴C1B1是与AA1异面的棱.同理，BC，CD，C1D1都是与AA1异面的棱，故正确答案为B.

3.如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()

解析：选C.选项A、B中RS与PQ平行;选项D中RS与PQ的延长线相交，选项C中的PQ与下底面平行，它与下底面中的RS不平行，不相交.

4.空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是()

A.0,1或2 B.0,2或3

C.1,2或3 D.0,1,2或3

解析：选D.若a、b、c两两异面，不能确定平面，为0个;若三线共面，为1个;若其中两条是异面直线，第3条与它们都相交，确定2个平面;若两两平行不共面，或三线交于一点且不共面，则确定3个平面.

5.下列四种叙述：

①空间四点共面，则其中必有三点共线;

②空间四点不共面，则其中任何三点不共线;

③空间四点中有三点共线，则此四点必共面;

④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面.

其中正确说法的序号是()

A.②③④ B.②③

C.①②③ D.①③

解析：选B.四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错;对于④，三点不共线但四点可以共面.

6.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()

A.5部分 B.6部分

C.7部分 D.8部分

解析：选C.作出这三个平面的截面，如图所示，把空间分为7部分，本题考查了学生的空间想象能力.顺利作出截面是解决本题的关键，其中l1，l2，l3是截线.

7.已知点A，直线a，平面α.

①A∈a，a∈α?A∈α;②A?a，a?α?A?α;③A∈a，a?α?A?α.

以上命题正确的个数为________.

解析：①中“a∈α”符号不对;②中A可以在α内，也可以在α外，故不正确;③中“A?α”符号不对.

答案：0

8.空间2条直线，最多确定1个平面，空间3条直线最多确定3个平面，空间4条直线最多确定________个平面……空间n条直线，最多确定________个平面.

解析：2条直线最多确定1=2×12个平面;3条最多确定3=3×22个;4条最多确定4×32=6个;…;猜想n条最多确定n?n-1?2个平面.

答案：6　n?n-1?2

9.如图是正方体或正四面体，其中P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________.

解析：题图①，③中的PS∥QR，所以P，Q，R，S共面，而题图②，④中的PS与QR是异面直线，所以这四个点不共面.

答案：①③

10.用符号表示下列语句，并画出图形.

(1)点A在直线l上，点B不在直线l上;

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α有且只有一个公共点M;

(3)平面α与平面β相交于过点A的直线l.

解：(1)符号：A∈l，B?l，如图①所示.

(2)符号：l?α，m∩α=M，如图②所示.

(3)符号：α∩β=l，A∈l，如图③所示.

11. 如图所示，已知直线a与b不共面，直线c∩a=M，直线b∩c=N.又a∩平面α=A，b∩平面α=B，c∩平面α=C，求证A，B，C三点不共线.

证明：假设A，B，C三点共线，设都在直线l上.

∵A，B，C∈α，∴l?α，c∩l=C，

∴c与l可确定一个平面β.

∵c∩a=M，∴M∈β.又A∈β，

∴a?β，同理可证b?β.

∴直线a，b共面，

这与已知a与b不共面矛盾，

∴A，B，C三点不共线.

12.求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.

已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求证：直线AB、BC、AC共面.

证明：法一：∵AC∩AB=A，

∴直线AB、AC确定一个平面α.

∵B∈AB，C∈AC，∴B∈α，C∈α.

故BC?α.

因此直线AB、BC、CA都在平面α内，

∴AB、BC、AC共面.

法二：∵A、B、C三点不在一条直线上，

∴过A、B、C三点可以确定平面α.

∵A∈α，B∈α，∴AB?α，

同理，BC?α，AC?α，

∴AB、BC、AC共面.