2017-02-16
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三、曲线和方程
1.定义
在选定的直角坐标系下,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(一点不杂);
(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏).
这时称方程f(x,y)=0为曲线C的方程;曲线C为方程f(x,y)=0的曲线(图形).
设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点},Q={(x,y)|f(x,y)=0},若设点M的坐标为(x0,y0),则用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为:
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题):
为曲线C的方程;曲线C为方程f(x,y)=0的曲线(图形).
2.曲线方程的两个基本问题
(1)由曲线(图形)求方程的步骤:
①建系,设点:建立适当的坐标系,用变数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
②立式:写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)};
③代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
④化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;
⑤证明:以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
上述方法简称“五步法”,在步骤④中若化简过程是同解变形过程;或最简方程的解集与原始方程的解集相同,则步骤⑤可省略不写,因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程.
(2)由方程画曲线(图形)的步骤:
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点);
②求截距:
③讨论曲线的范围;
④列表、描点、画线.
3.交点
求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组.
4.曲线系方程
过两曲线f1(x,y)=0和f2(x,y)=0的交点的曲线系方程是f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ∈R).
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