2016-12-05
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导读:大金链子小手表,一天三顿小烧烤,一股东北大碴子味,这就是东北三省给我们最初的印象。其实,人家辽宁在教育方面也是棒棒哒,不信?查字典数学网小编大西轰就带来了辽宁三校联考二的压轴真题,考考大伙儿的真是水平,也就当做今天的每日一题咯,一起来看看吧。
1.[2015·辽宁三校联考(二)]设F是抛物线C∶y2=4x的焦点,P是C上一点,斜率为-1的直线l交C于不同两点A,B(l不过P点),且△PAB重心的纵坐标为-3(2).
(1)记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值;
(2)求|FA|(1)+|FB|(1)的最大值.
解 (1)设直线l的方程为:y=-x+b,将它代入C∶y2=4x得:x2-2(b+2)x+b2=0,当Δ=16(b+1)>0时,令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(b+2),x1x2=b2,y1+y2=-(x1+x2)+2b=-2(b+2)+2b=-4,
因为△PAB重心的纵坐标为-3(2).所以y1+y2+yp=-2,所以,yp=2,xp=1.
k1+k2=x1-1(y1-2)+x2-1(y2-2)=(x1-1)(x2-1)((y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1)),(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1)
= [-x1+(b-2)](x2-1)+[-x2+(b-2)](x1-1)
=-2x1x2+(b-1)(x1+x2)-2(b-2)
=-2b2+2(b-1)(b+2)-2(b-2)
=0,所以k1+k2=0.
(2)|FA|(1)+|FB|(1)=x1+1(1)+x2+1(1)=x1x2+(x1+x2)+1(x1+x2+2)=b2+2b+5(2(b+3)),
由Δ=16(b+1)>0得b>-1,又l不过P点,则b≠3.
令t=b+3,则t>2且t≠6.
|FA|(1)+|FB|(1)=(t-3)2+2(t-3)+5(2t)
=t2-4t+8(2t)=-4(8)≤-4(8)=2(2+1),
当t=t(8),即t=2,b=2-3时,|FA|(1)+|FB|(1)的最大值为2(2+1).
贴心的查字典数学网小编末宝,还将真题的详细答案双手份上咯,若还有不懂的地方,欢饮私信询问。更多数学资讯,尽在查字典数学网。
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