2016-10-28
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(依据:《孙子算经》;编诗:陈钢) 妇人洗碗在河边,旁人问客有几员?
答曰不知人数目,碗的只数听我言:
一只盛饭二人用,一汤摆在三人前;
四人共食一碗肉,六十五只便周全。
请你仔细算一算,家里客人共几员?
【解说】这是依据《孙子算经》上的“荡杯”名题以及我国民间流传的“荡杯”诗题,编写而成的。在《孙子算经》上,此题的原文是:
“今有妇人河上荡杯,津吏问:杯何以多?妇人曰有客。吏曰:客几何?妇人曰:二人共饭,三人共羹,四人共肉,凡用杯六十五,不知客几何?”
题目中的“津吏”,是封建社会里管理河上桥梁的官吏。因河上桥梁在古时称其为“津梁”,故管理“津梁”的官吏便称之为“津吏”。题中的“羹”,读音与“耕”音相同;“羹”是有浓汁的食品,可解释为汤;“共羹”,即共用一个汤碗。题目的意思用通俗的话来说,可以是:
有一位妇女在河边洗碗,管理桥梁的官吏见了,问道:你要洗的碗为什么这样多?妇人回答说:家里来了客人。官吏又问:来了多少客人?妇人说:我家来的客人,2人共用一只饭碗,3人共用一只汤碗,4人共用一只肉碗,总共用了65只碗。请你算算吧,我家的客人有多少个?
用什么办法能算出这妇人家里来了多少客人呢?我们不妨从每人占用的碗数上来思考、分析。
由题中条件可知,每一个客人占用的饭碗、汤碗和肉碗分别是:
所以,每一个客人总共要占用的碗数就是
道客人的人数是多少了。因此,可求得该妇人家里来的客人人数为
综合起来,就是
答:家里来的客人是60人。
较为有趣的是,《孙子算经》上给出的解法,却与此完全不同:
“置六十五杯以十二乘之,得七百八十,以十三除之,即得。答曰:六十人。”
古算书解题,无法采用现今之算式,一般都采用这种文字叙述的形式,来讲解算题的解法。如果将这种解法列成今日之算式,则可以是:
65×12=780
780÷13=60(人)
这种解法的算理何在呢?《算经》上没有讲述。我们不妨这样来思考:
因为2人共用一只饭碗,3人共用一只汤碗,4人共用一只肉碗,将其排列起来,就是:
2人——1只饭碗
3人——1只汤碗
4人——1只肉碗
由此可以推出:
(注:12是2、3、4三个数的最小公倍数)
这就是说,12个客人需要占用的碗数是
6+4+3=13(只)
现在,如果假定每个客人都占用13只碗,那么总的碗数便会扩大12倍,使之变为
65×12=780(只碗)
于是,只要知道这“780只碗”中,包含了多少个“13只碗”,便知道她家里来了多少客人了。所以,她家里的客人人数就是
780÷13=60(人)
将这一思路的主要算式写在一起,就是《算经》上的解法了。
65×12=780;780÷13=60(人)
不难发现,这样的解法是合理而巧妙的。它比现在一般采用的分数解法(如前面解说中介绍的那种解法),来得更为简捷、快速和富有趣味。
【思考、练习】
1.想一想,上面的题目还有其他的解法吗?如果有的话,请再用其他的方法解答一遍。
2.食堂里的一个工人正在洗碗。旁人问:刚才在这里吃饭的是多少人?
工人回答道:刚才来吃饭的,是平均每人1只饭碗,两人1只菜碗,3人1只汤碗,总共用了55只碗。请你自己算算看,刚才在这里吃饭的是多少人?(答案:30人)
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