填幻方是一种填数游戏。这种游戏最早起源于我国。传说距今4千多年的夏禹王治水时，河南洛水里浮出一只大乌龟，背上有一个祥瑞的图形，这就是洛书。

洛书是一种最古老的幻方。现在幻方成了一门应用广泛的科学，它在程序设计、组合分析、实验设计、人工智能、图论、博奕论等都得到了应用。这里介绍一些通俗有趣的幻方游戏。

反幻方

上面说过，我国古老的洛书是一种幻方。它用圆圈来表示数字。中间5个圈表示5，前后左右分别表示1、9、3、7，四个角分别表示2、4、6、8。

将洛书翻译出来，可以得到下面的表格：

它的每行、每列和两个对角线上的3个数之和相等，等于15。这就是一个三阶幻方。下面我们要大家动手动脑来做一个三阶反幻方。

填法：三阶反幻方就是说，3×3的方格内，填上1至9九个数，使它的每行，每列和两条对角线上的3个数之和都不相等。

你会发现，要填这个反幻方并不容易。美国著名数学游戏大师马丁?加德纳发明了这种反幻方，并给出了答案，你可以验证、验证，看对不对？答案是：

你发现了其中的规律没有？原来九个数首尾相连，形成“一条龙”。

后来有人又找到一种“一条龙”的答案：

至于不是“一条龙”的答案，就很多了，你自己去试试填吧。

写给太空人的信

著名数学家华罗庚建议，在宇宙飞船上带上中国的洛书，作为给太空人的见面礼。因为太空人如果掌握高度的文明之话，一定会懂得这个图的含义。

1977年，美国发射的“旅行者”号宇宙飞船上，果然带了一张幻方图。现在就让你来填填这个幻方图。

填法：这是一个四阶幻方图。就是在一个4×4的带16个方洛的方阵图中，每格分别填上1至16的数字，使每行、每列及两条对角线上的4个数之和都相等。

请你来填填这个四阶幻方图。不过，四阶幻方的填法共有880种之多，所以我们要提示一下。

这个四阶幻方是在印度卡俱拉霍发现的，它是11世纪时刻在一个碑上的，数学家叫它筒形幻方。它不只对角线的4个数相等，等于34，而且任何一条折断的对角线上4数之和也都等于34。也就是说，幻方的上边第一行移到最下一行，或左边第一行移到最右一行，仍是幻方。而且每相邻的4个数之和也等于34，我们给出这个幻方的8个数：

相信你会填出其他数来。答案是：

颠倒幻方

图一是一个四阶幻方，它每格填的不是1至16的自然数。但它每行、每列及对角线的4个数和都等于264。

奇怪的是，将这个幻方颠倒过来，又是一个新的幻方。它每行、每列及对角线的4数和仍为264。

奥秘在哪儿？原来幻方格子里填的数，都由1、6、8、9这四个数组成，而这四个数颠倒以且仍然是数字，其中1、8仍是原数，6、9则倒了个。此幻方由钱曾涛提供。

三角幻方

我们知道，三角形只有3个交点，因此填3个数，使每条边上的两数之和相等，是完全不可能的。

但是，如果在每边中设4个数，则就成为可能了。

填法：我们画出这个三角形幻方图，请在每个圆圈中填上1至9的数字，使每条边的4数和相等。

图二是填好的三角幻方图。你是否发现，这个幻方还有其他特性，如其中三个内三角形上的数字和也相等，即2＋9＋4＋3＋7＝5＋4＋9＋1＋6＝8＋1＋6＋7＋3＝25

这人个幻方是孙维梓设计的。

六角幻方

本世纪初，有一个叫阿当斯的青年，他热心填六角形的幻方。就是在六角形的7个点上，填上1至7七个数，使每条直线上的2个或3个数和相等。

经过47年的努力，还没有得到成功。原来这样的幻方是不可能存在的。如图二所示，若a＋6＝b＋c，则a＝c,但是幻方的要求是所填的数不能相同。

不过，他经过这么多年挫折后，终于用毕生精力排出了一个两层六角幻方。

填法：在图三所示的六角幻方中，共有两层，19个点，要求在各点上填上1至19各数，使每条线上的各数和相日二等，等于38。这个幻方叫你来填当然很难。不过，我们可以先给出内层7个数，你来补充其他12个数，也许就不困难了。

挂红灯

洛书是一种三阶幻方，它共有3×3九个格。你会问：有没有二阶幻方？也就是说，在一个口字形的4角上，分别填上1至4四个数，使每行、每列的两数和相等。可能吗？答案是不可能。

道理很简单，这在六角幻方中已经有了类似的证明。

那么，可不可以将二阶幻方变变形，使几个方格并起来，达到类似幻方的目的呢？这倒是可以。如图一，一共有14盏彩灯，在各盏灯上分别填上0到13的数字，使每个方格上的数字和相等。这就是可能的。

填法：先告诉你方格上4数和是27，再提示你上面4盏灯分别填上1、9、8、6四数。下面就好填了。图二是一种方案，有没有其他方案呢？此幻方是钱树庠设计的。