多年来，我在数学教学中紧紧围绕课堂教学这个中心，从理论和实践的结合上，对教学内容、方法、对象等方面进行了实践、思考和研究，取得了较好的效果，积累了一些有益的经验。

(一)对数学教学中重难点的确定与处理的再认识

数学教学中要突出重点，分散难点。这是数学教师对成功数学课的共识。虽然“重点”、“难点”概念早有定论。但随着小学数学教学改革的深入和对小学生在学习数学过程中年龄心理特点的研究，对这一问题的再认识是很有必要的。

1．着眼于数学知识的内在联系来确定重难点内容，并在教学中尽力使之突出。

小学数学教材的各部分知识是一个有着密切联系的知识系统。因此，确定重点内容的意义在于从知识的内在联系上着眼，去深究新旧知识的连接点，并认识其地位和作用。重点内容的确定不可能按照某种固定方法去套出来。重要的是掌握它的特征，并根据特征，从教材的全局到部分，再从部分到全局的分析研究中把它悟出来。一般地说，重点内容的主要特征一是应用广泛，二是与以后学习的关系最直接、最密切。这就是通常所说的新知识的生长点或新旧知识的连接点。比如，一个数乘以分数的意义。这一内容在日常生活和生产中有广泛的应用。由整数到分数无论是数概念、范围，还是运算及其意义都是一次重要的扩充。同时学生在分数乘以整数中已形成的认知结构也要相应的调整和完善。这一内容是后面学习分数乘法应用题最直接的基础，又是解答应用题组成判断的重要概念。由此可见，这一内容既是学生认识上的转折，又是数学知识中的质变。无疑，它在全册教材中有举足轻重，牵一发而动全身的地位和作用，是全册教材中的重点。在确定重点以后，又如何在教学中突出重点？我认为：其一，就课堂教学的总体而言，讲解上抓重点，作业上练重点，时间上保重点。其二，就数学知识而言，一般中有重点，重点中有关键。讲解时要善于抓住重点中起决定和支配作用的关键，讲时以此切入、以此引路，重点内容就可相对突出。其三，就课堂教学的节奏而言，讲解重点内容时教师的语调要放慢些，教学节奏宜缓些。在这种给学生留有充分思考余地的教学节奏下，学生才可能听清重点，想明重点。

2．着力分析学生理解、掌握知识的难度和心态来确定教学难点，并在教学中尽力使之突破。

小学数学教学不仅具有逻辑的严密性，而且还有小学生认识、心理活动的形成与发展的规律性。因此，确定教学难点的意义在于依据教材，对来自学生方面可能妨碍、影响教学进展的种种因素进行全面、客观的分析并在课前就要成竹于胸。数学知识中的新概念、新公式、新法则、新性质、新关系、新思路等，固然是教学中常见的难点内容，但是因为难点是出于学生方面，所以教师确定难点时不能只看知识中的“新”字，更不能错误地认为“教师面前无难点”，而忽视了对学生的分析和研究。认知心理学研究表明，学生的学习过程是以心理活动为基础的认知过程与情意过程的统一。因此确定教学难点时，教师应该注意两点，首先要在心理位置与思维水平上与学生实行互换，设身处地地为学生着想，认真分析学生理解、掌握知识过程中的难处。其次要充分考虑学生认识和心理过程中可能出现的种种障碍。比如，小数点位置的移动引起小数大小的变化。这一内容学生学习过程中的表现是似乎一听就懂，一看就会，而在应用时却不动则已，一动就错。试析原因大致有三：一是学生在理解这一内容时有许多诸如原数、数位、位数、扩大、缩小、数的大小、倍等等，这些易混易错概念成为学生理解知识的难处。二是学生在掌握和应用这一知识的思维活动中需要把小数点移动的方向、位数、倍、数的大小、0的处理等同步有序地进行。而学生的感知恰好缺乏目的性和精确性，这就在思维活动的起点上出现障碍，成为学生掌握、应用知识中的第一道难关。三是学生对这一有着“动静交错，变中有序”的复杂思维活动缺乏必要的心理准备，掌握应用知识时才知道看似容易用时难。正是因为这些原因，这一内容不能不确定为难点。突破难点的方法我以为，其一，预作铺垫，放缓坡度；其二，适当分散，逐一突破；其三，加强直观，创设情景；其四，利用旧知，促进迁移。此外我还认为，处理难点内容只靠教学的方式、方法和手段还不够，突破难点内容时还须注意：第一，教师确定的难点不宜预先告诉或暗示学生。这样容易造成学生的心理压力。比如，“这节课的内容很困难，不容易学懂，小朋友要专心”“这个问题难，不要紧张”这类“话与愿违”的话不要说。第二，讲解难点内容时教学节奏宜缓慢。适当调整语速、语调和语气。同时还要密切注视学生的表情。如果发现多数学生蹙眉茫然，或提出的问题无人作答、举手人数寥寥无几时，教师一方面要舒缓节奏，放慢语速，留出充分的时间让学生思考，并及时用上述方法设台阶，给铺垫。另一方面用激励与信任的语气及时给以鼓励，帮助他们迎难而上。化难为易后要还原节奏，继续讲解非难点内容。

(二)处理好教与学的关系，努力提高学生课内活动效率

当前，小学数学教学中存在着“学习效率低，学业负担重”的现状。为从根本上改变这一状况，教师有必要着眼于基础教育的培养目标，着力于提高课堂教学质量，着重于提高学生课内活动效率，进行课堂教学改革的探索。

教与学是教师的教和学生的学相统一的过程。小学生学习数学的过程主要是在教师的引导下进行的。学生的认识活动主要靠教师启发诱导。因而就教的方面言，教师应起主要的引导作用。课堂教学中教师主导作用的发挥应表现为依据教学内容，有目的、有步骤、有方向地调控、推进教学过程，并使构成教学过程的各因素相协调，使学生的认识活动不断处于由已知到未知，由具体到抽象，由知识到技能和能力的动态平衡之中。同时用多种手段和方法最大限度地调动学生学习积极性和主动性。促使学生把教师的教学活动变成自己需要的独立认识活动，使学生爱学、会学。就学的方面言，学生既是教学的对象又是独立认识活动的主体。对教师所教知识的理解和掌握，能力的形成与发展都得靠学生自身的内驱力。其主体作用的发挥主要表现在以知识为中介，沿着正确的思路，拾级而上，循序渐进，学得活泼、主动，乐学而思学，思学而善学。

总之，处理好教与学的关系，要有教师的善导，才有学生的善学。要使学生学之得法教师必先导之有方。

在以上思想的指导下，我在中、高年级数学课堂教学中，根据学科特点和学生认知规律，进行了以“教师主要导，学生主动学”为其特征的课堂教学改革。改革后的课堂教学分为六个主要环节：

1．教师在制定教学目的、分析重难点的基础上，向学生提供与新知识关系最直接的准备性知识。

2．教师在分析研究新旧知识的内在联系的基础上，找准并向学生揭示出新旧知识的连接点和关系形式。

3．教师从学生原有知识实际和思维水平出发，提出有一定启发性、思考性、方向性、逻辑性的问题。紧紧围绕这些问题或讲解或适当、适时地引导学生思考，组织学生商议。

4．教师适时、及时地引导学生用比较、分析综合、类比、判断、推理等多种方法深刻理解所学知识，从中受到简单数学思想方法的培养和训练。

5．指导学生阅读教材。培养训练学生用数学语言清楚地表达所学内容、表述思维过程，调整思维过程。

6．教师为学生提供由浅入深，由基础到综合过渡的应用性练习题，并用多种方式组织练习和评价，而后再做部分练习题(变式题或思考题)或完成课本上的习题。

以上环节不是固定不变，而是相联系、可增可减。常适用于新授课。下面以教学除数是小数的除法为例加以说明。

(1)教学目的的提出：在教师指导下，学生通过对准备题的解答和对新课思考题的商议，运用旧知进行独立或半独立的认识活动，在理解算理的基础上，总结出计算法则，并会应用法则较熟练地进行计算。

(2)新旧知识间的联系与距离：除数是小数的除法与商不变的性质、小数点移动引起小数大小变化、除数是整数的小数除法等旧知在算理和算法上都有直接联系。而新旧知识的差距仅在于除数是小数和除数是整数间的区别。如果除数一旦应用旧知转化成整数后，从旧知中就“长”出了新知，学生的认知结构也进一步完善。

(3)教学过程的构思：根据平时掌握的学生的实际和对本节课重难点内容的分析，要激发学生思维的积极性，诱发学生学习的内驱力。教师的主导作用主要发挥在“点拨转化的方向”上。据此拟定出准备、商议和应用三种不同目的的题目。至于转化后的数学活动全由学生独立完成。其主要过程如下：

提供准备题：

①A．去掉10.25和12.5的小数点，原数各扩大多少倍？

B．7.25的小数点怎样移动就可以使它变成整数？

C．0.03怎样使它成为整数？

D．104.4100要计算出得数怎样移动小数点？位数不够怎么办？

本组准备题其目的是根据教学中的难点，有针对性地进行多形式的旧知复习。通过学生解答“导”出学习新知的基础。

②A．1.53=？

B．1530=？

C．( )300=0.5

D．( )3000=0.5

通过学生观察、口答后，从算理上“导”出新知的依据。

③用竖式计算：

本组题目的目的是在一定目标和方向的引导下，进行旧知识的“组装”，从而“导”出①、②组内容的生长点。

进行新课：10.2512.5。引导学生感知题目，给较多时间先让学生独立思考，再围绕下面题目商议：

①例题里除数是什么数？只要把除式中的哪个数变成整数就可以用学过的小数除法来计算出结果？怎样把它化成整数？

②除式中的一个数化成整数后，要使商不变，另一个数变不变？怎样变？为什么？

③原除式是几除以几？变后的除式是几除以几？两个除式所得的商相等吗？根据是什么？

在商议的基础上，学生先说自己的想法，再试算。试算后对照教材“找差距”，然后调整自己的想法，组织自己的语言，再用自己的话总结出除数是小数的除法计算法则。

教师根据学生的总结，修正、补充学生的表述。总结出计算法则。

课堂练习(指导书写格式，组织学生评定)

(4)教学效果简记：

学生在学习过程中思维活跃。运用准备题的知识循“商议题”之序而进行领悟。在教师的主导作用下，找到了新旧知识的连接点，寻求到了缩短新旧知识距离的方法，并能从不同的方法中比较难易，决定取舍。在理解的基础上掌握和应用法则。

中等生余发言记录：“我先想把被除数扩大100倍，除数也同时扩大100倍，使它们都变成整数。这样就可以按照整数除法计算。但这样做，被除数和除数都很大，计算太麻烦。我就先把除数变成整数，再根据商不变的性质把被除数扩大相同倍数，这样就可以用前面学的除数是整数的小数除法来计算，就不管被除数是不是整数了 ”

第一次练习错误率4%；经学生自我评价后，在第二次练习中类似错误全部消除。

课堂教学改革的实践使我认识到，提高学生课内活动效率的主要标志是：在40分钟的有限时间里，学生学习积极性和主动性能得到充分发挥，思维活动能较长时间地处于自我表现、自我奋进、自我评价、自我调整和自我完善的积极状态；在主动获取、深刻理解和掌握应用知识的同时，良好的思维品质以及思维的基本能力得到有益的训练和培养；从而把教学过程比较顺利地变成学生自觉活动的认识过程。

课堂教学改革的实践还使我认识到，提高学生课内活动效率，教师要充分发挥主导作用。教师主导作用的落脚点是：贵在诱导，要在转化，重在启发，妙在开窍。

(三)精心设计和有效组织课堂练习

课堂练习是小学数学课堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节，是学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要手段。因此，课堂练习在小学数学教学中有着特殊重要的地位。怎样设计和组织课堂练习？我认为，应从练习的内容、组织的方式和时间的分配三个方面思考。练习的内容要围绕教学目的精心选编；组织练习的方式要结合小学生的特点灵活多样；练习的时间要遵循学生的认知规律合理安排。

1．认真钻研教材上的习题，理解编排意图，明确习题的目的和作用。

小学数学教材里配备的习题是体现教学要求，紧扣教学目的，并按“由浅入深，循序渐进”的原则进行编排的。这些习题不仅为课堂练习提供了大量的内容，而且习题本身所涉及的知识范围和出现的形式都较好地体现了数学学科特点和学生思维特点。因此，一般而言，教材所配备的习题应作为课堂练习的基本内容，是教师设计课堂练习的主要材料。教师在备课时，应对这些习题认真钻研。先要逐题解答，审度难易程度，认识目的作用，然后再根据教学目的，看哪些题目可作新课准备题，哪些可作课中练习题，哪些可作课后练习题，哪些可留成家庭作业等。最后还要从习题与习题间的联系上作分析、研究，深究编排意图，发掘隐含其中的智力因素。

例如，原通用教材五年制小学课本数学第六册第33页练习十中的第2题。这道题中共有9道除数分别是一位数、两位数(整十数)、三位数(整百数)的除法竖式口算题。通过钻研可以发现，尽管题上未注题号，但要竖着看。一是因为竖着看，通过练习可以揭示出除数是三位数的除法与除数是一位数、两位数的除法在算理和算法上的联系，从而实现知识的迁移。二是因为竖着看还可以孕伏“商不变的性质”。此节课虽然“引而不发”，但到后面学习“商不变性质”时却可收到“启而则发”的效果。

2．结合学生实际，练习的设计要有层次、有坡度、有针对性。

教材里的习题虽然为课堂练习提供了不少的内容，但要更好地发挥练习的作用，教师还有必要从教学目的出发，根据班级的不同，学生知识基础和思维水平的差异，对教材习题作适当调整、组合、补充，使之更有层次，更有坡度，能从质和量的方面适应不同程度学生的需要。

由于中差生的思维由具体形象——逻辑抽象过渡较迟缓，保持着较多的具体形象成分。理解掌握和应用知识与优生间存在着一些认识上的差距。据此，在设计练习时要以教材习题为主要材料，并对习题作适当调整，减缓坡度。通过练习使中差生既能达到基本的教学要求，又不造成精神和作业上的负担。

比如，原通用教材五年制小学课本数学第八册第41页练习十三中第4题，是为理解约数和倍数概念，会用概念进行判断这一目的而配备的习题。从中差生的知识和思维实际分析，后两题的难度稍大。在课堂练习中要为中差生“搭桥”，宜先补充下面一组题后，再让他们完成第4题。

(1)根据242=12这个算式，说出哪个数是另一个数的倍数？哪个数是另一个数的约数？

(2)24和2这两个数，哪个数是另一个数的倍数？哪个数是另一个数的约数？

(3)2和24这组数，哪个数是另一个数的约数？哪个数是另一个数的倍数？

像上面这样的练习，中差生练习后不仅可以达到基本教学要求，而且更大的作用在于从中受到初步的逻辑训练和思维方法的培养，在弥补思维发展迟缓的同时，促进思维的发展。

优生与中差生相比较其差异集中表现在思维水平和方法上。设计练习时也应当考虑到优生的特点，在课本习题中恰当地“插”入少量或个别有一定深难度、利于思维训练的题目，让他们在数学方法上开窍。

比如，在质数合数新课练习中，可安排这样一道题：“从1—10这十个数中有2个质数8个合数”对吗？

中差生的思路一般是在感知题目后，根据质数、合数概念对这10个数逐一判断，再分别筛出质数和合数的个数来，最后对全题作出判断。而优生却不一样，一般是抓住“1既不是质数也不是合数”，那么1—10的10个数里合数与质数个数和不是10个。根据前提与结论的矛盾，立即推断出本题的正误。

我认为，新课后的练习设计以题组形式出现较好。突出的优点是既可以通过练习使各类学生巩固应用知识，又能从中受到简单数学方法的训练；既能体现习题的层次与坡度，又能满足不同思维层次的学生的需要。

比如：在正比例意义教学新课后的练习中，我设计出下面一组题目。先要求全班学生进行口头判断，再要求优生说出理由。

(1)圆的周长和圆的直径成正比例。

(2)圆的直径一定，周长和圆周率成正比例。

(3)圆的周长一定，直径和圆周率不成正比例。

上面(1)题是练习的统一要求。各类学生都应掌握的概念。(2)、(3)题除了有深化概念(判断的两个量是变量)的作用外，由优生说出理由(自己的不同想法)后，教师再深入浅出地告诉学生审题的方法和用概念组成判断时，必须进行符合逻辑的推理，把前提和结论结合起来进行思考。

再如，教学整数三步计算应用题的新课后，练习可设计成下面这组有层次、有坡度、适合不同程度学生完成的口头练习。练习时因人而异，前两题可供优生选作，后三题中差生可以不作。

学校开展“献爱心”活动。四年级3个班，每班捐衣物120件，五年级2个班，每班捐衣物100件。四、五年级学生共捐衣物多少件？

(1)你准备先算什么？再算什么？怎样列式？

[板书：1203+1002]

(2)这道题是几步计算应用题？按运算顺序说一说每步计算所算出的是什么？

(3)改变题中条件，把这道三步计算应用题变成两步计算应用题。[板书：四年级3个班，共捐衣物120件]

(4)改变这道两步计算应用题的条件，使它成为一步计算应用题。[板书：四年级3个班共捐衣物120件，五年级2个班共捐衣物100件]

(5)改变这道一步计算应用题的问题，使它成为前两步用除法后一步用减法计算的三步计算应用题。[板书：五年级每个班比四年级每个班多捐衣物多少件？]

总之，设计练习要做到准、实、精、配四个字，以体现其层次、坡度及针对性。围绕教学目的，突出重点内容，针对学生知识、思维水平要准；理解掌握知识，形成技能、能力要实；习题难易适度，所用时间适当，内容要既活且精；为满足不同程度学生的需要，把基本题、变式题、综合题等适当组合、搭配。

3．组织课堂练习，要合理分配时间，讲究练习方式。

小学生由于受感知、注意及年龄特点的局限，练习中形式单一，时间过长容易产生疲劳，影响练习效果。因此，练习的时间及其分配既要合理又要紧凑。实践经验表明，一般说来，中、高年级每节新课练习的时间不应少于15分钟，低年级还可稍多一点。练习时间分配为新课前，新课中和新课后三个时段比集中使用好些。三个时段的时间也不宜平均使用，一般课前时间要短些，课后时间要长些，课中时间灵活些。

组织练习的方式要坚持“多、变、大”三个原则，来提高练习效果。“多”是学生在练习中动脑、动口、动手、动笔的机会以及反馈的次数要多；“变”是围绕教学目的，区别不同年级的学生，把握练习时间，适当变换练习的形式和方法；“大”是在同样的练习时间里，大多数学生能同时练习，大多数学生能积极、自觉活动，大部分错误及时得到纠正，大面积学生都能从中受益。

下面是长方形(正方形)面积计算的课后练习实录。

(1)看图，计算两个长方形和一个正方形的面积。(学生动笔，教师巡视。发现个别学生在得数和单位名称上的错误，及时进行了纠正)

(2)教师提示学生正确使用面积单位后，学生听题，口算结果。(口算数据较小的两个长方形和两个正方形面积。单位名称无错)

(3)先计算再拼摆。

①一个长方形的长是4厘米，宽是1厘米。它的面积是多少？(学生笔算)

②用边长是1厘米的小正方形摆出这个长方形。(学生拼摆，教师巡视)

③这个长方形的面积是4平方厘米，长是多少？(学生看着自己摆出的长方形边想边笔算。教师发现个别学生计算长的得数后边用的面积单位名称，及时启发学生自己改正)

④教师把长度、面积单位区分后，学生口算出这个长方形的宽。(单位无错)

⑤能不能把这个长方形摆成面积不变的正方形？摸一摸这个正方形的边长，边长是多少？已知边长怎样计算它的面积？

(4)先摆后算再讨论。

①用边长1厘米的小正方形摆出一个面积是12平方厘米的长方形。你有几种摆法？(学生拼摆过程中，教师通过行间巡视发现有三种不同的摆法即：长12厘米，宽1厘米；长6厘米，宽2厘米；长4厘米，宽3厘米的不同形状的长方形。并将每个长方形的长和宽板书出来)

②学生暂停操作。教师讲述：

同学们在桌面上摆长方形的时候，有的摆出的长方形是横着放的，有的是竖着放的。这说明摆出的长方形位置不同，但都是长方形。摆出的长方形也有不相同的(指板书)，有的摆出的长方形长是6厘米，宽是2厘米

③下面请同学们根据这些条件(指板书)在作业本上很快地算出它们的面积来。

④学生报出得数后，教师提问：通过计算你们发现长和宽不相等的三个长方形的面积为什么会相等？(学生分组商议)

……

像上面这样组织练习，学生对长方形面积计算公式理解深，掌握好，会应用。练习中兴趣浓，思维活，信心足。练习后中差生有成功感，优等生有满足感。练习完了兴趣犹在。

(四)学生解答应用题的心理障碍及其矫正措施

应用题在小学数学里的地位和作用十分重要。但是应用题教学中“教师难教，学生难学”这一现状相当普遍而且时时困扰着教师，困惑着学生。为了改变这一现状，我在教学实践中依据“掌握解应用题的一般步骤”这一教学要求，十分注意从学生的认知心理方面去分析研究学生思维过程中的心理障碍，同时探索相应的矫正措施。

1．学生解答应用题思考过程的现状简述

小学数学教材里，在学生学习用综合算式解答三步计算应用题(整数应用题)以后，就以“条文”的形式总结出了解应用题的一般步骤，并写进了教材列为教学内容，定为教学要求。显然，解应用题的一般步骤应当成为学生解题时的思考程序和方法，并在以后解题时需要继续得到验证、理解和应用。但就当前大多数学生解应用题的思考过程来看，相对解题步骤，其差距甚大，“犯规”、“错位”现象十分严重。比如，一根电线长10米，第一次用去1.7米，第二次用去3米。两次用去后这根电线短了多少米？在列出10-[10-(1.7+3)]、10-(3+1.7)这样算式的学生中除大部分中差生外，还有不少学有余力的优生。经对学生解题过程的观察、谈话以及问卷资料的分析表明，列出上面两式的学生多属没有按照解题步骤去思考。多数学生见了题目“一看就会，提笔就做，一做就错，做完就交”。由此可见，学生解题时的思考过程与解题步骤间存在着较大偏差。这种偏差正是导致不同思维水平的学生犯类似解题错误的重要原因所在。当然，造成这种偏差的原因是多方面的，但小学生心理方面的障碍是不容忽视的一个重要方面。

2．中、高年级学生解答应用题的心理障碍

根据我在应用题教学中对学生长期的观察、研究和对资料的综合、分析，我认为中、高年级学生解题过程中的心理障碍主要有以下六点。

(1)不良心理状态的消极影响。

学生解答应用题的思考过程是十分复杂的智力活动。活动中始终伴随着感知、注意、记忆、思维等心理过程。因此，充分的心理准备和良好的心理状况是思考中能否循序渐进，环环相扣，步步深入的重要“支柱”。由于解应用题比直接显露了运算顺序和方法的式题计算，其思维的广度、深度要大，求解的过程也要复杂得多。对此，小学生虽然有一些体验，但因年龄心理特点的局限，没有也不可能在心理上作充分、必要的准备。于是见到应用题总希望列出算式就算，有了结果就答。除此以外，不良心态的表现还有：

排斥心态。由于缺乏充分的心理准备，在遇到老师没有讲过或自己没有做过的应用题，就会在排斥心态的影响下对解题步骤“不予理睬”。更不会按照步骤的程序和方法积极展开思维。

畏难心态。遇见稍复杂，较灵活，无法照例题模仿的应用题，就容易产生“见题生畏，望题却步”的畏难心态。在这种心态的影响下，还未提笔，心里就打“退堂鼓”了。

惧怕心态。小学生怕做应用题似乎起于应用题教学的起始阶段。随着年级的升高，应用题也越来越复杂。学生中普遍存在的“喜欢做计算，就怕应用题”的心态似乎没有消除，如果教得偏死，到了中、高年级这种心态还可能演变成“做计算题如鱼得水，解应用题如羊惧虎”的惧怕心态。在这种心态的影响下见到题型变换、思维负荷较大的应用题就不去思考或更不会思考。

从动心态。上述心态如果未能及时被教师察觉或没能引起重视，那么学生解题时容易形成一种不去主动思考，而把他人的“点、读、帮”作为心理上的依靠和需求的从动心态。在这种心态的影响下，解题时常常是“不点则阻，一点则通”。

上述不良心态往往是以交叉形式出现于学生解题的思考过程中的“启动”环节上。显而易见，在这些不良心态的影响下学生是不可能启动并积极主动地展开自己的思维活动的。

(2)注意特点的局限。注意是人的心理活动时对一定对象的指向和集中。它产生于一切心理过程的开端，又与各种心理过程并存。它不仅使心理过程有一定的方向，而且还起着调节和组织作用。小学生的注意集中性差，维持注意的时间短，注意的范围较窄，注意方向的选择上往往择易避难。因此，解答应用题时很难沿着解题步骤的程序去分配调节自己的注意，容易把盲目列式作为注意的中心，把理解题意和分析数量关系退位于注意的边缘，把检查和验算置于注意范围以外，甚至完全不被注意。这样就造成思考过程中程序上的跳跃，注意方向的偏差，注意对象的遗漏。比如，小学生在解题的思考过程中总是急于列式、埋头计算，而对分析数量关系和理解题意“视而不见，见而不思”就是这个原因。

小学生不善于分配、调节和稳定自己的注意。往往是顾此失彼，舍近求远，抓芝麻丢西瓜。要把自己的注意从理解题意调节、转移到分析数量关系上来，分析数量关系又要时而顾及条件，时而追寻问题，这就更需要稳定、分配自己的注意。然而对小学生来说，由于注意特点的局限是不太容易做到的。比如，在高年级学生中难免不犯下面的错误。某班学生参加华罗庚金杯赛。第一次有8人获奖，第二次有10人获奖。获奖人数增加了百分之几？学生列出(10-8)10100%、108100%。这样的错误说明学生解题时注意到了“增加了多少人”而又忽视了“以什么人数作标准”；反之，注意到了“以什么人数作标准”而又忽视“增加了多少人”。

(3)感知粗糙，次数偏少又忽略整体认识。

全面理解题意是解答应用题的必要准备。对题意的全面理解始于用感觉器官对题目从整体--部分--整体进行精细地、不止一次的感知活动。这样才能认识题中文字、词句、条件、问题，进而抽取出思维加工的有效材料--有着各种关系的数量。由于学生对事物的感知比较粗糙，浅表性十分明显，对题意的理解往往是一晃而过，仅看一次不肯多看多读。砍头去尾，张冠李戴，“拿起半截就开跑”的现象非常突出。理解题意时把“多多少米”看成“多少米”、把“可以少用几小时”看成“可以用几小时”、把“再织布3

错误经常发生。比如，一块长方形玻璃长70厘米，宽2分米。求它的面积是多少平方厘米。不少学生都可能列式为702=140(平方厘米)。这样的错误并非个别学生，也不仅是中差生。而是各类学生常犯和“重犯”的错误。对此，教师仅从知识方面纠正很难收到纠错弃误的效果。

(4)思维品质和水平的不适应。

在全面理解题意的基础上，分析题里的数量关系是正确解答应用题的关键。从两步计算应用题开始，题里一般有三个条件和一个问题。已知条件出现的形式既有顺叙的还有反叙的。有的已知条件要经过运算或判断才能得到。已知数与未知数之间的联系有的是直接的、有的却是间接的，学生要经过两、三个简单的、互相联系的、并按一定顺序排列的判断，找出中间问题(隐蔽条件或间接条件)才能得出解题的方法。高年级学习的稍复杂的应用题，其结构和内容都比较复杂，题中事理也比较曲折，数量关系多属间接联系，问题和条件之间存在着形式上的“远距离”。解题时更需要学生具有优良的思维品质和较高的抽象思维水平。但从多数高年级学生的实际状况来看，思维的目的性、深刻性、灵活性、逻辑性以及解题所必须的思维的基本能力与解题的要求之间还不完全适应，中差生还很不适应。解题时一般表现是，与例题数量关系及其叙述形式相同或相近的题目直接模仿；较例题稍有变化或与新课例题无联系的题目(过去学过的)常瞎猜乱碰；综合性强，思维难度较大的题目无从下手，即使解答出来有的也是凭“未曾相见曾相识”的经验求解的。比如，某乡今年上半年修水渠780千米，下半年修的水渠比上半年修的2倍还多150千米。今年修水渠多少千米？列出7802+150这样综合算式的学生究其错因时，有的见“倍”就乘，见“多”就加，以为用了加法就求出了全年修水渠多少千米了。其实列出上面“半截综合算式”的学生中多数还是对题意有所理解，在分析数量关系时能根据条件组成了两个判断，找出了“下半年修多少千米”这个中间问题。之所以“卡壳”在“半截”上，正说明思考过程中缺乏分析和综合，没有把已经找出的中间问题再作为下一步推理的前提，进行符合逻辑的连续推理，终究没能把未知数与已知数间的关系最后联系起来。又如，车站有货物45吨，用甲汽车10小时可以运完，用乙汽车15小时可以运完。用两辆汽车同时运，多少小时可以运完？学生列式有三种：①45(4510+4515)；

误，而是学生在解题过程中的不同思考方法和水平的标志。①式的思维活动仍靠具体数量(总吨数、甲车乙车每小时运货物的吨数)的支持。没有把用具体数量进行运算为特征的工作问题思路，抽象到与具体数量对应的工率进行运算的工程问题的思路上来。其思维方法仍带有较多的具体形象性。②式的思维过程完全脱离了工作问题中具体数量，而用更高抽象水平的工率所代替。其思维方法有较高的抽象概括性。③式，从现象上看，列式肯定是错误的。但从思维水平的本质上看，这种“量和率的混装”明显地表现出解答应用题所需要的思维水平与学生的实际水平之间还不适应。

(5)习惯性思维影响和思维定势干扰。

学生解答应用题的思考过程中，由于机械识记和模仿力较强，而思维自觉性较差，缺少对自己的思维过程检查、论证和调整的意识。有的学生解题时习惯去“套类型，抓词眼”。因此，学生容易用一种习惯了的思路或刻板、固定的思维方法去思考问题。这种习惯性思维加上对小学生几乎是防不胜防的思维定势干扰，就造成思考过程中的心理障碍。比如：某化肥厂二月份生产化肥2000吨，比一月份增产10%。一月份生产化肥多少吨？学生列出2000(1-10%)这样的错误算式就是这一障碍造成的。再如，这样两道对比练习题：①某乡今年植树3.5万株，今年比去年多植树10%。去年植树多少万株？②某乡去年植树3.5万株，比前年多植树10%，前年植树多少万株？学生解题时②题的错误率明显高于①题。其实这两题的数量关系是相同的，其不同点仅仅是相比较的两个年份不同。①题是学生解答类似题中已经习惯了用“今年”和“去年”相比较，是轻车熟路。②题需要用“去年”和“前年”相比较，感到十分别扭，要突破已经习惯了的“老套路”，脑子一时还转不过弯来，于是思路受阻，妨碍了对本题的正确解答。

(6)缺少自觉检查、调整自己思维过程的意识。

只要注意观察学生解应用题的思考过程，分析各类学生解题中的错例就不难发现，一般解题能力较强的学生在思考的全过程中思维的目的、方向、程序、方法以及结果都比较善于自我调节。尤其是目的的转移、方法的交替、结果的检查进行得比较自觉、顺利，“短路”、“卡壳”的情况一般较少。常常盲目列式的中等生在思考过程中往往表现出思维程序失调，方法单一、机械，对解答结果意识不到正误。差生的思考过程更是缺乏自我意识。比如，小明有1.28元，去文具店买文具。铅笔每支0.4元，每本作业本0.8元，如果他要买5支这样的铅笔和4本这样的作业本，还差多少元？中差生一看见题里的“差”字，就想到减法。于是列式为①1.28-0.4-0.8=0.08(元)、②1.28-(0.45+0.84)。列出①式的学生显然从审题到结果的整个思考过程基本上没有自我意识。列出②式的学生常常也只有当在运算过程中遇到不够减时，才会恍然大悟。这时也可能在算式上作出调整0.45+0.84-1.28。有的差生甚至遇到不够减时仍在思维死胡同里走不出来，竟然“反过来”减出一个得数就完了。

高年级学生中解应用题时由于较长时间里没有接受自我意识的训练，不注意按照解应用题的解题步骤之间的本质联系自觉调节、验证和检查自己的思维过程。不少中差生就连对解答结果中有部分大于整体，严重脱离日常生活、生产实际，严重逻辑矛盾的答案也发现不了是错误的。比如，张华每分

师反复纠正，或再三提醒，但学生都很难克服。根本原因是在学生的思考过程中缺乏自我意识，不可能或不善于以明显错误为“信号”，去追根寻源，检查自己的思考过程，更不大可能去反思自己的思考过程，从中总结出解题的策略，以及失误或出错的教训。

上述种种心理障碍，并不是孤立存在的，常常是互相联系，有的还互为因果。在学生解题思考过程中一般是以交叉或综合形式出现的。

3．针对主要障碍进行综合矫正

根据上述心理障碍对学生解应用题的影响程度和主要的方面，我认为实行矫正一是要综合防范，二要靠教师的积极影响。主要措施是：

(1)强化审题意识，感知题意本质。

上述种种障碍常会以不同形式影响着中、高年级学生对题意作本质上的理解。因此，对中、高年级学生来说，除了进一步强化已有的审题方式方法外，特别要把审题的方向、方法作为重点加以强化，以形成学生自觉审题的意识，始终把感知题意的本质作为感知的目的。

①从题目的整体上进行首次感知。感知时可以勾勾画画，也可以读出声来，以保证感知的精确性。并通过题里的文字、词语唤起表象，初步理解题目的事理。

②从题目的部分上进行再次感知，感知的目的是较迅速地、准确地分离出题中的条件与问题来。初步认识应用题的“本来面目”。

③再从题目的整体上进行感知，通过这次感知，要剔除与问题和条件无关的情节因素，把注意、思维的方向转移到抽取出已知数量，并同时将注意思维的对象及时调节并稳定在已知条件与所求问题的因果关系上去。

经过上面这样多次、精细，并且有目的、有重点的感知题目的培养训练后，还应鼓励优生压缩感知过程，不必步步到位。对中差生训练的时间可长些，首次感知的精确性和再次感知的理解性，以及感知的方法和次数上要多作引导并从严要求。

(2)充分展现教师解题思路，让学生从中领悟解题策略。

我认为，小学生到了中、高年级之所以不同程度、不同形式的受种种思维障碍的影响，解题思考过程中缺少自我意识，其水平总与解题要求间存在着较难缩小的距离等等，归根结底是学生没有从教师解题的思维过程中受到影响得到启发，从而没能很好掌握解题的一般方法，逐步形成解题的一般策略。因而，解题时很难找到突破点、着眼点、侧重点、着力点。

分析数量关系是解答应用题的关键。影响学生的种种心理障碍也常常集中在这一关键上。为让学生能够克服障碍，教给学生分析数量的基本的、有效的方法非常重要。根据我个人的实践经验，在教学中教师能充分展现自己的思维过程，对学生克服心理障碍，掌握解题策略是极为有利的。如何根据学生年龄心理特点和数学学科特点，在应用题教学中充分展现教师的思维过程，使学生从中领悟解题策略呢？

第一，在应用题的讲练上，“扩缩结合，说想结合”，使学生在掌握一步应用题的基础(已有了思维基础)上领悟三步应用题的逻辑结构，从中受到一般方法的训练和培养。下面仅用教学一道例题的主要环节加以说明。

例题：红光机械厂某车间4台机床4.5小时生产零件720个，5台这样的机床生产1600个同样的零件需要多少小时？

1．出示基本应用题：5台机床每小时共生产零件40个，要生产1600个零件需要多少时间？

2．出示扩展题：

(1)每台机床1小时生产40个零件，5台这样的机床要生产1600个零件需要多少小时？

1600(405)

(2)4台机床4.5小时生产零件720个，5台这样的机床生产1600个零件需要多少小时？

1600(72044.55)

新课进行中，教师始终抓住常见数量关系。在扩展题目的过程中，着重讲解题目的扩展过程，揭示题目间的逻辑联系，让学生的思维活动，以数量关系为思维基础，沿着题目的逻辑联系逐步展开。新课目的达到后，又要求学生根据列出的综合算式，按下面步骤说出自己的思维过程。

(1)说出综合算式里每个已知数在题里的意义。

(2)依据综合算式中的运算顺序说出每步运算在解决什么问题。

(3)把上面两个步骤连起来，从式里的已知数意义开始到应用题最终要解决的问题为止，完整地表达出来。

这里要特别说明的是，学生在口述思路过程时，如果中途中断、前后矛盾、不能连贯地说至题目最终要解决的问题时，教师要善于判断障碍出在哪个环节，并及时采取相应的方法启发、帮助学生检查调整，消除障碍后，一定要让学生继续说或重新说。

新课后的练习用口头练习形式，连续改变例题条件，进行例题——扩展(1)题——基础题的压缩练习。

第二，教师要有意识地展现自己的思维过程，把分析数量关系具体化，解题方法策略化。

我在教学实践中体会到，要提高中、高年级学生解答应用题的思维水平，教师首先要善于研究那些思维水平较高的学生在思考过程中怎样分析数量关系；怎样找到的解题方法；怎样找的突破点；怎样变换解题思路等等。比如有学生告诉我“我解题是边看就边接通”、“我解题总爱变换方法反过来想”、“看见‘比’就想到了‘分数’”等。我十分重视把学生的这些包含着分析数量关系的具体方法和朴素的解题策略的想法同自己的思维过程相结合，从中年级起，在教学中有意识地展示在学生面前。

比如，一个草场有320公顷，割草机2小时可以割草4公顷。割完这个草场上的草要多少小时？教学时，除了用常用的分析法分析数量关系外，我还有意识地启发学生：当你读到2小时割草4公顷时，你可以把这两个条件接通吗？得到什么？割完这个草场上的草的时间求出了吗？还要怎么办？这一来就把“分析法”、“综合法”、“综合与分析交替的方法”都比较具体地教给了学生。同时在学生列出320(42)这一正确算式后，我又将题目叙述的顺序作了调整，变为一个草场有320公顷，用割草机割4公顷的草地用了2小时，割完这个草场上的草要用多少小时？让学生用同样的方法解答后，我明确告诉学生，当我读到4公顷用了2小时，就想这个草场如果只有4公顷，割完这个草场上的草就要用2小时，但是这个草场是320公顷，320公顷里有几个4公顷呢……就这样启发学生又列出2(3204)的算式。这样做的意义并不是一定要年龄不大的中年级学生必须“一题多解”，而在于用教师的寻求解题方法的思维过程去早些影响学生。随着年级的升高，数概念扩大及相应运算知识的增加，就会慢慢掌握一般解题方法和策略。下面摘录的就是这个班学生完成六年制小学八册应用题的作业(不计算只写出每步求什么)。

某发电厂每天节约用煤1.44吨。3公斤煤可以发电7.5千瓦时，每天可以多发电多少千瓦时？

解法一：7.531440①求出每公斤煤发电多少千瓦时；②求出可以多发电多少千瓦时。

解法二：7.5(14403)①求出节约的总公斤数里有几个3公斤；②求出多发电多少千瓦时。

解法三：1440(37.5)。①求出发1千瓦时电要用多少煤；②求出多发电多少千瓦时。

再如，高年级的分数乘除法应用题，教材以分数乘法应用题的解题思路为基本思路，解分数除法应用题时，通过列方程，转化到分数乘法应用题的基本思路上去。无疑，这是减轻学生记忆负担，提高学生思维水平的好做法。在分数除法应用题教学中为使学生既能较好地领悟解题的思维过程，又能学点数学思想方法，提高思维水平，我在完成新课例题教学的基础上安排了下面这节课，让学生领悟解题策略。这节课的主要环节的实录摘抄于后：

……

师：口答，甲堆煤5吨，乙堆煤3吨。乙堆煤是甲堆煤重量的几分之几？甲堆煤是乙堆煤重量的几分之几？

吨？

师：这道题除了用列方程和直接用除法解答外，能不能用乘法解答呢？

吨？怎样解？

……

师：解答分数除法应用题时，我们不仅可以列方程后，用乘法应用题思路解答，还可以改变看作单位1的量，变除法思路为乘法思路解答。

师：试一试，下面这题先用除法解答，再用乘法解答。已知乙堆煤重3

师：用乘法解答时要转化哪个条件？转化几次？　

　实践表明像这样选择适当的内容，有意识地在教学中展示思维过程，启发学生用旧知进行新思考，对学生领悟解题策略是很有好处的。学生反映说：“把哪个量看作单位1随我便”、“除法可用乘法做，反过来，乘法也可用除法解”。从解题的策略上看这节课其作用在于：使学生从题目特征着眼；使学生着力于条件转化，使学生着重抓解题关键(把哪个量看作单位1)从而拓宽了学生的解题思路。同时还使我认识到教给学生解应用题的思维方法不在于应用题的数量一定要多，更不是越多、越难、越繁越好。学生真正掌握了一般解题方法和策略，就能以策略的不变去应付题目的万变。

矫正学生解应用题的心理障碍，涉及的方面很多。除上面谈到的措施外，教师还应该在教学中用自己的良好心态，比如教态、语气、表情、目光等去消除学生的不良心态；还应该经常变换题型，采取多种方法，比如，变顺向叙述为逆向叙述，改条件，变问题等防止思维定势影响，突破习惯性思维框框；从应用题教学的起始年段开始，就要想方设法适当增加一点应用题背景材料去吸引学生的注意力，还要注意从低年级起就培养学生检查、验算的习惯。随着年级的升高，还可以适当教给验算、检查的方法。