(一)学习目标

1.知识目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用一次函数、二次函数模型解决实际问题，初步掌握数学建模的一般步骤和方法.

2.能力目标：通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点.

3.情感目标：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识.

(二)重点难点

教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决实际问题.

教学难点：增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法.

(三)教学内容安排

1.复习一次、二次函数的有关知识

2.创设情景，揭示课题

引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何?”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔?你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47-35=12;鸡数就是：35-12=23.

此例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.

3.结合实例，探求新知

例1　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求出离开北京2h时火车行驶的路程.

探索：

1)本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样;

2)变式思考：试写出火车匀速行驶的路程y与火车行驶的时间x之间的函数关系

3)所涉及的变量的关系如何?

4)写出本例的解答过程.

老师提示：路程S和自变量t的取值范围(即函数的定义域)，注意t的实际意义.

学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.

说明：本例是一次函数模型的例子，在审题中重点是理解各变量的含义及相互间的依赖关系，难点是求自变量t的取值范围.可设一次函数为，使用待定系数法求解.对于第二问，我们可以引导学生体会函数与方程，一般与特殊的关系，加深对函数本质的理解.

例2　某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其它因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高?

引导学生探索过程如下：

1)本例涉及到哪些数量关系?

2)应如何选取变量，其取值范围又如何?

3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系?

4)“总收入最高”的数学含义如何理解?

根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.

[略解：]

设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300-10，由>0，且300-10>0得：0<<30设客房租金总上收入元，则有：=(20+2)(300-10)=-20(-10)2 + 8000(0<

<30)由二次函数性质可知当=10时，=8000.

所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.

课堂练习 1、要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低?并求此最低造价.

2.如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大?

例3　某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式;写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式。

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

(注：市场售价和种植成本的单位：元/百千克，时间单位：天)

解：由图1可得市场售价与时间t的函数关系：，由图2可得种植成本与时间t的函数关系：，由上消去t得Q与P的对应关系式：

因为认定市场售价P与种植成本Q之差为纯收益，所以当且时，;由二次函数性质可知当P=250时，t=50，此时P-Q取得最大值100;

当且时，;由二次函数性质可知当P=300时，t=300，此时P-Q取得最大值87.5.因为100>87.5，所以当t=50时，P-Q取得最大值100，即从二月一日起的第50天上市的西红柿收益最大。

4.归纳整理，发展思维.

引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：

1)合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为

函数模型问题：

2)运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答;

3)将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解;

4)在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.

5.布置作业

作业：教材P68习题2.3(A组)第3 、4、5题：习题2.3(B组)第1、2题

(四)教学资源建议

教师教学用书

(五)教学方法与学习指导策略建议

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，因此函数的应用是学习函数的主要目的之一.本节课学习一次和二次函数模型的应用，让学生在熟悉的知识背景下理解用函数的思想分析问题、解决问题的方法，初步掌握建立数学模型的一般步骤，为第二次学习函数的应用打好基础.教材这样处理既符合学生的认知规律又体现了螺旋式上升的设计理念.在函数应用的教学中，学生通过动手操作、模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象出数学关系的方法，从而感受函数的应用价值，增强数学应用的意识;学生在体验数学与日常生活和其它学科领域的联系中树立起正确的世界观;数学建模活动，在激发学生学习数学的兴趣，发展学生创新精神和实践能力方面起到重要的作用.结合本节内容的学习，使学生形成用函数思考问题的习惯.总之，对于函数应用的教学主要是培养学生数学应用的意识，用函数模型刻画客观世界的规律的能力.关键在模型的建立中要合理选择变量和寻求变量间的依赖关系，掌握数学建模的一般方法.