一、内容和内容解析

1.内容

勾股定理的探究、证明及简单应用.

2.内容解析

勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么

.它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题.

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明.

我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感;围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理.

二、目标和目标解析

1.教学目标

(1)经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.

(2)能用勾股定理解决一些简单问题.

2.目标解析

(1)学生通过观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论.理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理.了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.

(2)学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度.

三、教学问题诊断分析

勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论.在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系.但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积.因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理.

本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明.

四、教学过程设计

1. 创设情境 复习引入

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.右图就是大会会徽的图案.你见过这个图案吗?它由哪些我们学过的基本图形组成?这个图案有什么特别的意义?前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边.

问题1　三个角的数量关系明确吗?三条边的数量关系明确吗?

师生活动　教师引导，学生回答。

【设计意图】回顾三角形的内角和是180°以及三角形任何两边的和大于第三边，由三角形三边的不等关系引导学生思考，三角形三边之间是否存在等量关系.

我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.

直角三角形中最长的边是哪条边?为什么?它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢?这就是我们要研究的问题.

2.观察思考，探究定理

问题2 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.三个正方形A，B，C的面积有什么关系?

毕达哥拉斯(公元前572---前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。

师生活动　学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律.通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积.

追问 由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系?

师生活动 教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化.

问题3　在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C的面积是否也有类似的关系?

师生活动　学生动手计算，分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系.

追问　正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系?

师生活动 学生独立思考后分组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法---割补法.可求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

【设计意图】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法.

问题4　通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系?

师生活动 教师引导学生表述：如果直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为，那么

【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的.

问题5 以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，我们的猜想仍然成立吗?

师生活动 要求学生通过独立思考，用a，b表示c.如图，用“割”的方法可得

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.

【设计意图】从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论.

问题6 历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理.

师生活动 教师展示“弦图”，并介绍：这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形(朱实)可以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下.

【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想.通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心.

3.初步应用，巩固新知

例1 画一个直角三角形，，它的两直角边分别是，量一量它的斜边

是多少厘米?算一算，你量的结果对吗?

师生活动　学生操作，教师个别指导.

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题.通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性.

例2 在直角三角形中，各边的长如图，求出未知边的长度.

师生活动　学生计算，教师检验.

【设计意图】勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的.所以勾股定理本质上是反映面积关系的.如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么.通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：;;

.在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想.

例3 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米?

师生活动　学生观察、思考、计算，教师检验.

【设计意图】设计实际问题背景，提高学生分析问题和解决问题的能力.

4.归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

(1)勾股定理总结的是什么数量关系?

(2)勾股定理有什么作用?

(3)阅读教科书，总结教科书提供的勾股定理的其他证明方法.了解中国人的伟大和外国人的智慧.

【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信.

5.布置作业

(1)教科书第28页第1题;

(2)通过互联网收集定理的多种证法.自主探究定理的证明.

五、目标检测设计

1.直角三角形的周长为12，斜边长为5，其面积为( )

A.12 B.10 C.8 D.6

【设计意图】勾股定理的简单计算，结合三角形的周长和面积知识进行求解.

2.等边三角形的高是h，则它的面积是( )

A.

B.

C.

D.

【设计意图】勾股定理的应用和三角形的面积公式.

3.直角三角形中，，，求和.

【设计意图】考查学生运用勾股定理的能力.