2015-05-12 收藏
二次根式是初中数学中的基础知识,也是初中数学学习中的重点内容;而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点,也是中考和数学竞赛中常见的题型,经常会考到不查表、不求二次根式的值,来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法,如求近似值法、比较被开方数法等,尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法,但许多学生在考试中仍显得力不从心,并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适?解答这类题目时缺少方法与对策,以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法
此法好学,适用。就是将根号外的正因式移入根号内,从而转化为比较被开方数的大小。
例1:比较的大小。
解:>
∴>
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是:两个正数的平方是正数,平方大的数就大;两个负数的平方也是正数,平方大的数反而小。
例2:比较与的大小。
解:∵,
>0,>0
∴<
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化,再进行比较。
例3:比较与的大小。
解:
∴>
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化,再比较大小。
例4:比较与的大小
解:∵
>
∴>
五、求差或求商法
求差法的基本思路是:设为任意两个实数,先求出与的差,再根据“当<0时,<;当时,;当>0时,>”来比较与的大小。
求商法的基本思路是:设为任意两个实数,先求出与的商,再根据“①同号:当>1时,>;=1时,;<1时,<。
②异号:正数大于负数” 来比较与的大小。
例5:比较的大小。
解:∵<
∴<
例6:比较的大小。
解:∵>1
∴>
六、求倒数法
先求两数的倒数,而后再进行比较。
例7:比较的大小。
解:∵
>
∴<
七、运用媒介法
此法是借助中间量(定量或变量)巧妙转换达到直观比较的方法,类似于解方程中的换元法。
例8:已知,,试比较
的大小。
解:设,则,
∵<,
∴<,即<
八、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母,为了快速比较,解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9:比较与的大小。
解:设,则:=1,=
∵<1,∴>
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点,又不准求近似值,可采取局部缩放法,以确定它们的取值范围,从而达到比较大小的目的。
例10:比较的大小。
解:设,
∵,7<<8,即7<<8
,8<<9,即8<<9
∴<,即<
例11:比较与的大小。
解:∵>
∴>
十、“结论”推理法
通过二次根式的不断学习,不难得出这样的结论:“>
(>>0)”,利用此结论也可以比较一些二次根式的大小(结论证明见文末)。
例12:比较1与的大小。
解:∵,由>
(>>0)可知:>
即>
又∵>
∴>,即1>
总的来说,比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种,除此之外诸如移项、拆项法,类比推理法,数形结合法,数轴法,还有假设推理法等等,但不管使用哪种方法,都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行,要根据问题的特征,二次根式的结构特点,多角度地探索思考,做到具体问题具体分析,针对不同问题采取不同的策略,另外还应多做这方面的训练,方能达到熟练而又快捷,运用自如的程度。
附:“>(>>0)”的证明。
证明:∵,,
>
∴>(>>0)
【典题新练】:
1、比较与的大小;
2、比较与的大小;
3、比较与的大小;
4、比较与的大小;
5、比较与的大小;
6、比较与的大小(其中为正整数)
7、设,,试比较它们的大小;
8、比较与的大小;
9、比较与的大小;
10、 比较与的大小;
11、比较与的大小;
12、比较的大小;
13、比较与的大小;
14、 比较与的大小;
15、若为正整数,试比较的大小;
16、比较的大小;
17、比较与的大小。
【典题新练参考答案】:
1、提示:,,
∴<
2、提示:平方后再进行比较。
,,
∴>
3、提示:可利用>(>>0)。
>,即>
4、提示:分母有理化后再进行比较。
,,<,
∴<
5、提示:分子有理化后再进行比较。
∵>,
∴<,
即<
6、提示:∵,
其中为正整数, ∴>
故<
7、提示:设,则:,
∵ <
∴<,
∴<
8、平方后再进行比较。
,,
又∵>,
∴>
∴<,
∴<
9、提示:∵2<<3,7<<8,
∴<5<
∴<
10、提示:分子有理化后再进行比较。
因为,,
而>
所以<,故<
11、提示:分别求其倒数后,再进行比较。
∵,
>
,∴<
12、提示:∵,而7<<8,∴的整数部分为7 。同样可得的整数部分为8,∴<
13、提示:∵>
∴>
14、提示:平方后再比较大小。
∵,,
∴<
15、提示:由偶次根式的定义得,∴<2009,∴<0,
∴>0,<0,∴>
16、提示:由,设>,则>4,两边平方得:>16,∴>4,这与<=4相矛盾,
∴假设不成立,故<。
17、提示:可在方格纸或坐标纸上作折线图。,示例如下图:,,;。由图可知:>,即>
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