2009-03-17
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数学 量的测定
在科学实验中,为了测定一个量x,常作n次观测,测得n个数据a1、a2、……an,并取它们的算术平均值,即取
。
例如,要测定一批稻谷千粒重,当然不能把所有的稻谷都拿来秤。我们先从中取出千粒稻谷,秤得其重量为a1,再取另外的千粒稻谷,称得其重量为a2;如此继续称下去,如果一直称到第5次,千粒重为a5,那么,这批稻谷的千粒重就可以用下面的平均数来估计:
。
为什么要取n个测定值的平均数作为测定的值呢?这是因为, x这个数值是n次观测所得数据a1、a2、……an的代表,它体现了所要观测的n个量的整体性,与这n个数据距离的和最小。
但是,x-Qi(i=1,2,3,……n)有正有负,如果将它们相加作为测量得到的偏差,是不合理的,因为正偏差与负偏差的和相互抵消了。用这样偏差来衡量测量的准确性是不科学的。那么,用什么数来表示才好呢?如果将上面各偏差平方后再相加,这样,其中各项就不可能为负数了。
因此,令
y=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-a3)2+……+(x-an)2。
现在的任务就是要求n为何值时,y值极小值,即使偏差最小,从而使测量效果最佳。
y=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-a3)2+……+(x-an)2
=nx2-2(a1+a2+a3+……+an)x+(a12+a22+a32+……+an2)。
这是一个关于x的二次函数。由二次函数最小值的求法。
∵ n>0,
时,y取最小值。
因此在科学实验中,取n次观测的数据的算术平均值作为观测的重量是正确的。
你知道自己头上有多少根头发吗?据说,人的头发有数十万根之多,当然不可能一根一根地去数。头发的排列也并非整整齐齐,不能数多少行,多少排,然后用乘法算。
一种切实可行的办法,是测量一下头发面积有多大,再数一数一个平方厘米头皮上有多少根头发,然后用单位面积上头发的根数去乘面积,就得头发的总根数了。
当然,头发密度不一定相同,有的地方长得密一些,有的地方稀一些。在选取“样本”时,要找有代表性的地方。
计算头发根数的实际意义不大,但这种方法却很有用处。一片大原始森林,共有多少棵树?要回答这个问题,就可以用类似的办法来解决。但是,森林中的树木也有疏有密,怎样选取“样本”呢?最好的办法是任意选若干块地方,分别计算,然后求出平均数来。
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