一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是()

A．D＋E＝2 B．D＋E＝1

C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m

　解析　D　依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.

2．以线段AB：x＋y－2＝0(02)为直径的圆的方程为()

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 　 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 　 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

　解析　B　直径的两端点为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．已知F1、F2是椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1||PF2|取最大值的点P为()

A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)

　解析　D　由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，

当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．

4．已知椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是()

A.165 B．3 C.163 D.253

　解析　A　椭圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，点P到y轴的距离d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，故选A.

5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()

A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0

C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0

　解析　D　设切点为(x0，y0)，则y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，即x0＝2，

切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.

6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

　解析　C　方程可化为x21m＋y21n＝1，若焦点在y轴上，则1n0，即m0.

7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()

A.54 B．5 C.52 D.5

　解析　D　双曲线的渐近线为y＝bax，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点

即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.

＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.

8．P为椭圆x24＋y23＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF2＝60，则PF1PF2＝()

A．3 B.3

C．23 D．2

　解析　D　∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.

9．设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()

A.x212＋y216＝1 B.x216＋y212＝1

C.x248＋y264＝1 D.x264＋y248＝1

　解析　B　抛物线的焦点为(2,0)，由题意得c＝2，cm＝12，

m＝4，n2＝12，方程为x216＋y212＝1.

10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的 一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()

A.2 B.3

C．2 D．3

　解析　B　设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c，0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝

1可得y2＝b4a2，|AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝ca＝3.

11．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的焦距为()

A.5 B．25

C.3 D．23

　解析　B　∵抛物线y2＝4x的准线x＝－1过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点，a＝1，双曲线的渐近线方程为y＝bax＝bx.∵双 曲线的一条渐近线方程为y＝2x，b＝2，c＝a2＋b2＝5，双曲线的焦距为25.

12．已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()

A.19 B.14

C.13 D.12

　解析　A　由于M(1，m)在抛物线上，m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－p2的距离也为5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求得m＝4，双曲线的左顶点为A(－a，0)，kAM＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y＝xa，根据题意得，41＋a＝1a，a＝19.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分， 共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(aR)，则l1l2的充要条件是a＝________.

　解析　l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.

【答案】　13

14．直线l：y＝k(x＋3)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数k＝________.

　解析　∵|AB|＝22，圆O半径为2，O到l的距离d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝ 147.

【答案】　147

15．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．

　解析　如图，圆的方程可化为

(x－3)2＋(y－4)2＝5，

|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.

在△OQM中，

12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，

|AQ|＝2555＝2，|PQ|＝4.

【答案】　4

16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程为________．

　解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．

则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，

|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，

点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a＝2，c＝2，b＝2，方程为x22－y22＝1(x2)．

【答案】　x22－y22＝1(x2)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)在平面直角坐标系中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.

(1)求圆C的方程；

(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．

　解析　(1)设圆心为(a，b)，

则b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，

故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

(2)当斜率不存在时，x＝0，与圆的两个交点为(0,4)，(0,0)，则弦长为4，符合题意；

当斜率存在时，设直线为y－2＝kx，

则由题意得，8＝4＋－2k1＋k22，无解．

综上，直线方程为x＝0.

18．(12分)(2011合肥一模)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0)和F2(3，0)，且椭圆过点1，－32.

(1)求椭圆方程；

(2)过点－65，0作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由．

　解析　(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a0)，

由c＝3，椭圆过点1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，

解得a2＝4，b2＝1，所以可得椭圆方程为x24＋y2＝1.

(2)由题意可设直线MN的方程为：x＝ky－65，

联立直线MN和椭圆的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化简得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，

又A(－2,0)，则AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以MAN＝2.

19．(12分)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦 点的距离分别为7和1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

　解析　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，

由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.

椭圆方程为x216＋y27＝1.

(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，

由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，

故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①

由点P在椭圆C上，得y21＝112－7x216，

代入①式并化简，得9y2＝112.

点M的轨迹方程为y＝473(－44)，

轨迹是两条平行于x轴的线段．

20．(12分)给定抛物线y2＝2x，设A(a,0)，a0，P是抛物线上的一点，且|PA|＝d，试求d的最小值．

　解析　设P(x0，y0)(x00)，则y20＝2x0，

d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.

∵a0，x00，

(1)当01时，1－a0，

此时有x0＝0时，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；

(2)当a1时，1－a0，

此时有x0＝a－1时，dmin＝2a－1.

21．(12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程；

(2)求证：点M在以F1F2为直径的圆上；

(3)求△F1MF2的面积．

　解析　(1)∵双曲线离心率e＝2，

设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，

则由点(4，－10)在双曲线上，

知＝42－(－10)2＝6，

双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，

MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，

MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．

(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.

22．(12分)已知实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.

(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；

(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？

(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．

　解 析　(1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.

由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．

∵m1，

轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.

(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．

由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.

令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.

∵t0，t＝3.

此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．

(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，

设点P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则

d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，

d2＝2－a，

d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.

令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，

则f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24

＝－6a＋8a－23.

令f(a)＝0，得a＝－43.

∵当a－43时，f(a)0；

当－432时，f(a)0.

f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，

d1d2min＝5f－43＝22，

又椭圆的离心率为22，

d1d2的最小值等于椭圆的离心率．