上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。

一、事件的关系与运算

老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果）

学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为C1， ﹛出现的点数＝2﹜记为C2， ﹛出现的点数＝3﹜记为C3， ﹛出现的点数＝4﹜记为C4， ﹛出现的点数＝5﹜记为C5， ﹛出现的点数＝6﹜记为C6.

老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D1）是不是该试验的事件？（学生回答：是）类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。 那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？

1、 学生思考若事件C1发生（即出现点数为1），那么事件H是否一定也发生？

学生回答：是，因为1是奇数

我们把这种两个事件中如果一事件发生，则另一事件一定发生的关系，称为包含关系。具体说：一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作 （或 ）

特殊地，不可能事件记为 ，任何事件都包含 。

练习：写出 D3与E的包含关系（D3 E）

2、再来看一下C1和D1间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？即若C1发生，D1

是否发生？（是，即C1 D1）；又若D1发生，C1是否发生？（是，即D1 C1）

两个事件A，B中，若 ，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B。所以C1 和D1相等。

“下面有同学已经发现了，事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似，很好，下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。”

试验的可能结果的全体 全集

每一个事件 子集

这样我们就把事件和集合对应起来了，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。

3、集合之间除了有包含和相等的关系以外，还有集合的并，由此可以推出相应的，事件A和事件B的并事件，记作AB，从运算的角度说，并事件也叫做和事件，可以记为A+B。我们知道并集AB中的任一个元素或者属于集合A或者属于集合B，类似的事件AB发生等价于或者事件A发生或者事件B发生。

练习：GD3 ＝？G＝﹛2，4，6﹜，D3 ＝﹛1，2，3，4﹜，所以GD3 ＝﹛1，2，3，4，6﹜。若出现的点数为1，则D3发生，G不发生；若出现的点数为4，则D3和G均发生；若出现的点数为6，则D3不发生，G发生。

由此我们可以推出事件A+B发生有三种情况：A发生，B不发生；A不发生，B发生；A和B都发生。

4、集合之间的交集AB，类似地有事件A和事件B的交事件，记为AB，从运算的角度说，交事件也叫做积事件，记作AB。我们知道交集AB中的任意元素属于集合A且属于集合B，类似地，事件AB发生等价于事件A发生且事件B发生。

练习：D2H＝？（﹛大于3的奇数﹜＝C5）

5、事件A与事件B的交事件的特殊情况，当AB＝ （不可能事件）时，称事件A与事件B互斥。（即两事件不能同时发生）

6、在两事件互斥的条件上，再加上事件A事件B为必然事件，则称事件A与事件B为对立事件。（即事件A和事件B有且只有一个发生）

练习：⑴请在掷骰子试验的事件中，找到两个事件互为对立事件。（G,H）

⑵不可能事件的对立事件

7、集合间的关系可以用Venn图来表示，类似事件间的关系我们也可以用图形来表示。

： A＝B：

AB： AB：

A、B互斥： A、B对立：

8、区别互斥事件与对立事件：从图像上我们也可以看出对立事件是互斥事件的特例，但互斥事件并非都是对立事件。

练习：⑴书P121练习题目4、5

⑵判断下列事件是不是互斥事件？是不是对立事件？

① 某射手射击一次，命中的环数大于8与命中的环数小于8；

② 统计一个班级数学期末考试成绩，平均分不低于75分与平均分不高于75分；

③ 从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球，至少有一个白球和都是红球。

答案：①是互斥事件但不是对立事件；②既不是互斥事件也不是对立事件

③既是互斥事件有是对立事件。

二、概率的基本性质：

提问：频率＝频数试验的次数。

我们知道当试验次数足够大时，用频率来估计概率，由于频率在0～1之间，所以，可以得到概率的基本性质：

1、任何事件的概率P(A)，0≦P(A)≦1

2、那大家思考，什么事件发生的概率为1，对，记必然事件为E，P(E)＝1

3、记不可能事件为F，P(F)＝0

4、当A与B互斥时，AB发生的频数等于A发生的频数加上B发生的频数，所以

= + ,所以P（AB）＝P(A)＋P(B)。

5、特别地，若A与B为对立事件，则AB为必然事件，P(AB)＝1＝P(A)＋P(B)P(A)＝1－P(B)。

例题：教材P121例

练习：由经验得知，在某建设银行营业窗口排队等候存取款的人数及其概率如下：

排队人数

0 ～ 10 人

11 ～ 20 人

21 ～ 30 人

31 ～ 40 人

41人以上

概率

0.12

0.27

0.30

0.23

0.08

计算：（1）至多20人排队的概率；

（2）至少11人排队的概率。

三、课堂小结：

1、把事件与集合对应起来，掌握事件间的关系，总结如下表

符号

Venn图

概率论

集合论

必然事件

全集

不可能事件

空集

A

事件

子集

事件B包含事件A

（事件A发生，则B一定发生）

集合B包含集合A

A = B

事件A与事件B相等

集合A与集合B相等

AB

（A+B）

事件A与事件B的并事件

（或者事件A发生，或者事件B发生）

集合A与集合B的并

AB

（AB）

事件A与事件B的交事件

（事件A发生，且事件B发生）

集合A与集合B的交

AB＝

事件A与事件B互斥

（事件A和事件B不能同时发生）

集合A与集合B不相交

AB＝

AB＝

事件A与事件B对立

（事件A与事件B有且仅有一个发生）

集合A与集合B不相交

2、概率的基本性质：（1）0≦P(A)≦1 （2）概率的加法公式

四、课后思考：概率的基本性质4，若把互斥条件去掉，即任意事件A、B，则P（AB）＝P(A)＋P(B)－P（AB）

提示：采用图式分析。