3.1.1 方程的根与函数的零点

学习目标

1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2. 掌握零点存在的判定定理.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）

复习1：一元二次方程 +bx+c=0 (a 0)的解法.

判别式 = .

当 0，方程有两根，为 ；

当 0，方程有一根，为 ；

当 0，方程无实根.

复习2：方程 +bx+c=0 (a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c (a 0)的图象之间有什么关系？

判别式 一元二次方程 二次函数图象

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

① 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

② 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

③ 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到 吗？

新知：对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点（zero point）.

反思：

函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

试试：

（1）函数 的零点为 ； （2）函数 的零点为 .

小结：方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点.

探究任务二：零点存在性定理

问题：

① 作出 的图象，求 的值，观察 和 的符号

② 观察下面函数 的图象，

在区间 上 零点； 0；

在区间 上 零点； 0；

在区间 上 零点； 0.

新知：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个c也就是方程 的根.

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※ 典型例题

例1求函数 的零点的个数.

变式：求函数 的零点所在区间.

小结：函数零点的求法.

① 代数法：求方程 的实数根；

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

※ 动手试试

练1. 求下列函数的零点：

（1） ；

（2） .

练2. 求函数 的零点所在的大致区间.

三、总结提升

※ 学习小结

①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

※ 知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.

推论：函数在区间 上的图象是连续的，且 ，那么函数 在区间 上至少有一个零点.

（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数 的零点个数为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.若函数 在 上连续，且有 ．则函数 在 上（ ）.

A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定

3. 函数 的零点所在区间为（ ）.

A. B. C. D.

4. 函数 的零点为 .

5. 若函数 为定义域是R的奇函数，且 在 上有一个零点．则 的零点个数为 .

课后作业

1. 求函数 的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

2. 已知函数 .

（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；

（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求 值.