【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了新人教版高二数学教案 ，希望能给大家带来帮助!

2.3.2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”， 以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

教具准备：多媒体、实物投影仪 。

教学设想：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.

回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 ， ，…， 中，各数据与它们的平均值 得差的平方分别是 ， ，…， ，那么 + +…+

叫做这组数据的方差

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5. 分布列:

ξ x1 x2 … xi …

P P1 P2 … Pi …

6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i=1，2，…; ⑵P1+P2+…=1.

7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记 =b(k;n，p).

ξ 0 1 … k … n

P

…

…

8.几何分布： g(k，p)= ，其中k=0,1,2,…， .

ξ 1 2 3 … k …

P

…

9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ x1 x2 … xn …

P p1 p2 … pn …

则称 … … 为ξ的数学期望，简称期望.

10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

12. 期望的一个性质:

13.若ξ B(n,p)，则Eξ=np

二、讲解新课：

1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 ， ，…， ，… ，且取这些值的概率分别是 ， ，…， ，…，那么,

= + +…+ +…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量ξ的期望.

2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 .

3.方差的性质：(1) ;(2) ;

(3)若ξ～B(n，p)，则 np(1-p)

4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

三、讲解范例：

例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

解：抛掷散子所得点数X 的分布列为

ξ 1 2 3 4 5 6

从而

例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800

获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1

乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000

获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位?

解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得

EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1

= 1400 ,

DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3

+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1

= 40 000 ;

EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,

DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l

= 160000 .

因为EX1 =EX2, DX 1

例3.设随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 … n

P

…

求Dξ

解：(略) ,

例4.已知离散型随机变量 的概率分布为

1 2 3 4 5 6 7

P

离散型随机变量 的概率分布为

3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3

P

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解： ;

;

;

=0.04, .

点评：本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值，但 的取值较为分散， 的取值较为集中. ， ， ，方差比较清楚地指出了 比 取值更集中.

=2， =0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：

+(10-9) ;

同理有

由上可知， ， 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.

点评：本题中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同. =9，这时就通过 =0.4和 =0.8来比较 和 的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例6.A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

A机床 B机床

次品数ξ1 0 1 2 3 次品数ξ1 0 1 2 3

概率P 0.7 0.2 0.06 0 .04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10

问哪一台机床加工质量较好

解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差

Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2

×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,

Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2

×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.

∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.

四、课堂练习：

1 .已知 ，则 的值分别是( )

A. ;B. ;C. ;D.

答案：1.D

2 . 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.

分析：涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3

当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P(ξ=0)=

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P(ξ=1)=

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P(ξ=2)=

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P(ξ=3)=

所以，Eξ=

3. 有一批数量很大的商品的次品率为1% ，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ B(200，1%)，从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ B(200，1%) 因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98

4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4

分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,

所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p

则 Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)

5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145

P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2

其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

分析： 两个随机变量ξA和ξ B&都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值.ξA取较为集中的数值110，12 0，125， 130，135;ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145.直观上看，猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：先比较ξA与ξB的期望值，因为

EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,

EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.

所以，它们的期望相同.再比较它们的方差.因为

DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，

DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.

所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好

6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元?

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用

解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100 依题

意，可得ξ的分布列为

ξ 0 5 25 100

P

答：一张彩票的合理价格是0.2元.

五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率，写出分布列;③根据分布列，由期望的定义求出Eξ;④根据方差、标准差的定义求出 、 .若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.

⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和

，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A组4 B组1,2

1.设 ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p

解：由二次分布的期 望与方差性质可知E =np D = np(1-p)

∴ ∴

2.已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6、 )求b (2;6， )

解：p( =2)=c62( )2( )4

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ，已知 和 的分布列如下：(注得分越大，水平越高)

1 2 3

p A 0.1 0.6

1 2 3

p 0.3 b 0.3

试分析甲、乙技术状况

解：由0.1+0.6+a+1 a=0.3

0.3+0.3+b=1 a=0.4

∴E =2.3 , E =2.0

D =0.81 , D =0.6

七、板书设计(略)

八、教学反思：

⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值;

②求ξ取各个值的概率，写出分布列;

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ;

④根据方差、标准差的定义求出 、 .若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.

⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和 ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要