2016-10-25
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天津市第四十二中学 张鼎言
(一)线线,线面,面面
复习导引:线线垂直一般情况下转化为线面垂直,用三垂线定理或逆定理。异面直线成角或线面成角,需平行移动异面直线中的一条或两条。如何平移?抓住已给线段中点,作出线段的辅助中点,用好三角形中位线或等腰三角形底边中线是重要的途径。在线面成角中,线上的点到平面的垂线是关键,解决问题的方法是利用已有垂线或直接作平面的垂线。
1.如图,在三棱锥V-ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ(0-)。
(I)求证:平面VAB⊥VCD;
(II)当角θ变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。
证明(1)∵AC=BC,D是AB的中点,
∴AB⊥CD,
又VC⊥底面ABC,
∴VC⊥AB
∴AB⊥平面VCD
又AB平面VAB
∴平面VAB⊥平面VCD
分析(2)在平面VCD中,过C作CH⊥VD,交VD于H,连CH。
由(1)CH⊥VD,VD是平面VCD与平面VAB的交线,
CH⊥平面VAB
∠CBH为直线BC与平面VAB所成角
∴CH=a·sin∠CBH
CH=CD·sinθ
又CD·AB=AC·BC→CD=-a,
∴-a·sinθ=a·sin∠CBH
∴sin∠CBH=-·sinθ
θ为直角△VCD中的锐角,
0-
∴0∠CBH-
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,-)。
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