2016-10-25
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天津市第四十二中学 张鼎言
6. 如图,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且-■=-■
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知-=λ1-,-=λ2-,求λ1+λ2的值。
解(1)P(x,y),Q(-1,y),F(1,0)
-=(x+1,0),-=(2,-y)
-=(x-1,y),-=(-2,y)
由已知,得y2=4x
抛物线焦点F(1,0),准线l:x=-1
解(2)lABy=k(x-1),k存在
-
△=16+16k20
y1+y2=-,y1y2=-4
A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(-1,-2k)
-=λ1-→y1+2k=-λ1y1,λ1=--
-=(x2+1,y2+2k)
-=(1-x2,1-y2)
→y2+2k=-λ2y2
λ2=--
λ1+λ2=----
=-2-2k(-+-)
=-2-2k■=0
注:本题的直线过抛物线焦点,但没有抛物线定义.把前5个题与本题比较,直线过焦点且出现距离问题时,前5个题引出的方法适用.
(五)直线与圆锥曲线相交不过焦点
复习导引:
因直线不过焦点又与圆锥曲线相交,设直线方程一般不用两点式,否则会导致推导的复杂性。点在直线或曲线上,点的坐标满足方程看来熟知却容易忽略。
1. 设椭圆-+-=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆上的一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为-|OF1|。
(Ⅰ)证明a=-b;
(Ⅱ)设Q1,Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程。
(Ⅰ)-+-=1(ab0)
A(c,y)
-+-=1,|y|=-
-=-
→-=-
-=-→2a2-b2=3b2,a2=2b2,∴a=-b
(Ⅱ)由(Ⅰ)
-
-
→(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-b2)=0
△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-b2)0
2k2b2+b2m2
x1+x2=--,
x1x2=-
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=---+m2
=-
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