天津市第四十二中学 张鼎言

假设akα，由上面的递推式，用比较法：

ak+1-α=--α

=-

=-

而α是方程x2+x-1=0的根，

∴ak+1-α=-0

∴ak+1α

由上数学归纳法可证anα

分析(3)由(2)anα，又anαβ

∴anβ

bn=ln-有意义，同理an-β=-(n≥2)

bn=ln-

=2ln-=2bn-1

b1=ln-=2ln-

=2ln-

=4ln-

Sn=-

=b1g(2n-1)

=(2n+2-4)gln-

注：本题的关键是第(2)问，通过an+1-α，不等式比较法，建立了递推关系。

7. 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=-，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…

(Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2)，并求Sn关于n的表达式;

(Ⅱ)设fn(x)=-xn+1，bn=fn1(p)(p∈R)，求数列{bn}的前n项和Tn。

解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，(n2)。

(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)

两边同除以n(n-1)，

-Sn=-Sn-1+1

设cn=-Sn，

cn=cn-1+1，

由S1=a1=-，c1=1

∴cn=1+(n-1)=n

Sn=-

(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn

bn=npn

设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)

当p=0时，Tn=0

p=1时，

Tn=1+2+…+n=-n(n+1)

pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)

(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1

∴Tn=---，(p≠0， p≠1)

注：在递推关系中，设cn是关键，从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。

8. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…

(Ⅰ)求a1,a2;

(Ⅱ)求{an}的通项公式

(Ⅰ)n=1，a1=S1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-;

n=2，S2=a1+a2=-+a2，

S2-1=a2--，

代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，S2=-+-=-;

(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0，

(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0，SnSn-1-2Sn+1=0

以上是把an转化成Sn，理由是把Sn转换成an走不通，实际上求出Sn，an也可求出。

由S1=-，S2=-，进一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用数字归纳法n=2时命题成立，假定Sk=-，

由关于Sn的递推式，

Sk+1=-=-=-，

∴Sn=-，an=-

注：由递推公式求通项，从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。

9. 已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0

证明(Ⅰ)0

(Ⅱ)an+1-an3

证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函数形式给出的递推关系，-，

先用数学归纳法证明：0

n=1由已知0

考虑函数f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx，

∵0

∴f'(x)0，f(x)↑

f(x)在[0，1]上连续

∴f(0)

∴0

又∵an+1=f(an)=an-sinan，00，

∴an-an+1=sinan0

∴0

(Ⅱ)要证an+1-an3，需证-an3-an+10，构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0

g'(x)=-x2-1+cosx

=-x2-2sin2-

=2[(-)2-(sin-)2]

当0-时，用单位圆易证-sin-0

∴g'(x)0,g(x)↑0

∴g(an)g(0),-an3-an+sinan0

-an3an-sinan=an-1

注：本题是以函数形式确定递推关系，把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。