2016-10-25
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定比分点
定比分点公式(向量P1P= 向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 ,使 向量P1P= 向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+OP2)(1+(定比分点向量公式)
x=(x1+x2)/(1+),
y=(y1+y2)/(1+)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b0,则a//b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
ab的充要条件是 a b=0。
ab的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即共同起点,指向被减
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣ ∣a∣。
当0时,a与a同方向;
当0时,a与a反方向;
当=0时,a=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数,都有a=0。
注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。
实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;
当∣∣1时,表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(a) b=(a b)=(a b)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(+)a=a+a.
数对于向量的分配律(第二分配律):(a+b)=a+b.
数乘向量的消去律:① 如果实数0且a=b,那么a=b。② 如果a0且a=a,那么=。
3、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0〈a,b〉
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a b。若a、b不共线,则a b=|a| |b| cos〈a,b〉;若a、b共线,则a b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a b=x x'+y y'。
向量的数量积的运算律
a b=b a(交换律);
(a) b=(a b)(关于数乘法的结合律);
(a+b) c=a c+b c(分配律);
向量的数量积的性质
a a=|a|的平方。
ab 〈=〉a b=0。
|a b||a| |b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a b) c例如:(a b)^2a^2 b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a b=a c (a0),推不出 b=c。
3、|a b||a| |b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ab。若a、b不共线,则ab的模是:∣ab∣=|a| |b| sin〈a,b〉;ab的方向是:垂直于a和b,且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线,则ab=0。
向量的向量积性质:
∣ab∣是以a和b为边的平行四边形面积。
aa=0。
a‖b〈=〉ab=0。
向量的向量积运算律
ab=-b
(a)b=(ab)=a(
(a+b)c=ac+bc.
注:向量没有除法,向量AB/向量CD是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣∣a-b∣∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
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