2016-10-25 收藏
不等式的证明是高中数学的一个难点,题型广泛,涉及面广,证法灵活,错法多种多样,本节通这一些实例,归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。步骤/方法比较法
比较法是证明不等式的最基本方法,具体有作差比较和作商比较两种。基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。当求证的不等式两端是分项式(或分式)时,常用作差比较,当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)
例1已知a+b0,求证:a3+b3a2b+ab2
分析:由题目观察知用作差比较,然后提取公因式,结合a+b0来说明作差后的正或负,从而达到证明不等式的目的,步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。
∵(a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
证明: =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)20
(a-b)2(a+b)0
即a3+b3a2b+ab2
例2 设a、bR+,且ab,求证:aabbabba
分析:由求证的不等式可知,a、b具有轮换对称性,因此可在设a0的前提下用作商比较法,作商后同1比较大小,从而达到证明目的,步骤是:10作商20商形整理30判断为与1的大小
证明:由a、b的对称性,不妨解a0则
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0,ab1,a-b0
(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba1,又abba0aabbabba
练习1 已知a、bR+,nN,求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法
利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 变形有:
(1)若a、bR,则a2+b22ab(当且仅当a=b时,取等号)
(2)若a、bR+,则a+b 2ab (当且仅当a=b时,取等号)
(3)若a、b同号,则 ba+ab2(当且仅当a=b时,取等号)
例3 若a、bR, |a|1,|b|1则a1-b2+b1-a21
分析:通过观察可直接套用: xyx2+y22
证明: ∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
b1-a2+a1-b21,当且仅当a1+b2=1时,等号成立
练习2:若 ab0,证明a+1(a-b)b3综合法
综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式性质推算出要证明不等式。
例4,设 a0,b0,a+b=1,证明:(a+1a)2+(B+1b)2252
证明:∵ a0,b0,a+b=1
ab14或1ab4
左边=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b24+(1-12)+8=252
练习3:已知a、b、c为正数,n是正整数,且f (n)=1gan+bn+cn3
求证:2f(n)f(2n)分析法
从理论入手,寻找命题成立的充分条件,一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时,便可推出原不等式成立,这种方法称为分析法。
例5:已知a0,b0,2ca+b,求证:c-c2-ab
分析:观察求证式为一个连锁不等式,不易用比较法,又据观察求证式等价于 |a-c|
要证c-c2-ab
只需证-c2-ab
证明: 即证 |a-c|
即证 (a-c)2
即证 a2-2ac-ab
∵a0,即要证 a-2c-b 即需证2+b2c,即为已知
不等式成立
练习4:已知aR且a1,求证:3(1+a2+a4)(1+a+a2)2放缩法
放缩法是在证明不等式时,把不等式的一边适当放大或缩小,利用不等式的传递性来证明不等式,是证明不等式的重要方法,技巧性较强常用技巧有:(1)舍去一些正项(或负项),(2)在和或积中换大(或换小)某些项,(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母)等。
例6:已知a、b、c、d都是正数
求证: 1
分析:观察式子特点,若将4个分式商为同分母,问题可解决,要商同分母除通分外,还可用放缩法,但通分太麻烦,故用放编法。
证明:∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+bba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab0)可得:ba+b+c
ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b
综上知:1
练习5:已知:a2,求证:loga(a+1)1 6换元法
换元法是许多实际问题解决中可以起到化难为易,化繁为简的作用,有些问题直接证明较为困难,若通过换元的思想与方法去解就很方便,常用于条件不等式的证明,常见的是三角换元。
(1)三角换元:
是一种常用的换元方法,在解代数问题时,使用适当的三角函数进行换元,把代数问题转化成三角问题,充分利用三角函数的性质去解决问题。
例7、若x、yR+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x,求证0
证明: ∵x,yR+, 且x-y=1,x=sec , y=tan ,(0
A=(sec-1sec(tan+1tan1sec2
=1-cos2coss2m2+cos2coss2mcos2
=sin
∵0
复习6:已知1x2+y22,求证:12 x2-xy+y23
(2)比值换元:
对于在已知条件中含有若干个等比式的问题,往往可先设一个辅助未知数表示这个比值,然后代入求证式,即可。
例8:已知 x-1=y+12=z-23,求证:x2+y2+z24314
证明:设x-1=y+12=z-23=k
于是x=k+1,y=zk-1,z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+43144314反证法
有些不等式从正面证如果不好说清楚,可以考虑反证法,即先否定结论不成立,然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理,逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论,从而肯定原有结论是正确的,凡是至少、唯一或含有否定词的命题,适宜用反证法。
例9:已知p3+q3=2,求证:p+q2
分析:本题已知为p、q的三次 ,而结论中只有一次 ,应考虑到用术立方根,同时用放缩法,很难得证,故考虑用反证法。
证明:解设p+q2,那么p2-q
p3(2-q)3=8-12q+6q2-q3
将p3+q3 =2,代入得 6q2-12q+60
即6(q-1)20 由此得出矛盾 p+q2
练习7:已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0.
求证:a0,b0,c0数学归纳法
与自然数n有关的不等式,通常考虑用数学归纳法来证明。用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。
例10:设nN,且n1,求证: (1+13)(1+15)(1+12n-1)2n+12
分析:观察求证式与n有关,可采用数学归纳法
证明:(1)当n=2时,左= 43,右=52
∵4352不等式成立
(2)假设n=k(k2,kn)时不等式成立,即(1+13)(1+15)(1+12k-1)2k+12
那么当n=k+1时,(1+13)(1+15)(1+12k-1)(1+12k+1)2k+12(1+12k+1)①
要证①式左边 2k+32,只要证2k+12
2k+22k+12k+32②
对于②〈二〉2k+2 2k+12k+3
〈二〉(2k+2)2 (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4 4k2+8k+3
〈二〉43 ③
∵③成立 ②成立,即当n=k+1时,原不等式成立
由(1)(2)证明可知,对一切n2(nN),原不等式成立
练习8:已知nN,且n1,求证: 1n+1+1n+2++12n 1324构造法
根据求证不等式的具体结构所证,通过构造函数、数列、合数和图形等,达到证明的目的,这种方法则叫构造法。
1构造函数法
例11:证明不等式:x1-2x
证明:设f(x)= x1-2x- x2 (x0)
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2
=f(x)
f(x)的图像表示y轴对称
∵当x0时,1-2x0 ,故f(x)0
当x0时,据图像的对称性知f(x)0
当x0时,恒有f(x)0 即x1-2x
练习9:已知ab,2ba+c,求证:b- b2-ab
2构造图形法
例12:若f(x)=1+x2 ,ab,则|f(x)-f(b)| |a-b|
分析:由1+x2 的结构可知这是直角坐标平面上两点A(1,x),0(0,0)的距离即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
于是如下图,设A(1,a),B(1,b)则0A= 1+a2 0B= 1+b2
|AB|=|a-b|又0A|-|0B|AB||f(a)-f(b)||a-b|
练习10:设ac,bc,c0,求证 c(a-c)+c(b-c)ab某些不等式的证明若能优先考虑添项技巧,能得到快速求解的效果。
1倍数添项
若不等式中含有奇数项的和,可通过对不等式乘以2变成偶数项的和,然后分组利用已知不等式进行放缩。
例13:已知a、b、cR+,那么a3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c时等号成立)
证明:∵a、b、cR+
a3+b3+c3=12 [(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)]12 [(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)]
=12[a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)]12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc
当且仅当a=b,b=c,c=a即a=b=c时,等号成立。
2平方添项
运用此法必须注意原不等号的方向
例14 :对于一切大于1的自然数n,求证:
(1+13 )(1+15 )(1+12n-1 2n+1 2)
证明:∵b 0,m 0时ba b+ma+m
∵ [(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)]2=(43、652n2n-1)(43、652n2n-1) (54、762n+12n)(43、652n2n-1)=2n+13 2n+14
(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)2n+1 2)
3平均值添项
例15:在△ABC中,求证sinA+sinB+sinC332
分析:∵A+B+C=,可按A、B、C的算术平均值添项sin 3
证明:先证命题:若x0,y,则sinx+siny2sin x+y2(当且仅当x=y时等号成立)
∵0
上式成立
反复运用这个命题,得sinA+sinB+sinC+sin 2sinA+B2+2sinc+22sinA+B2+c+322
=4sin3=332
sinA+sinB332
练习11 在△ABC中,sin A2sinB2sinC218
4利用均值不等式等号成立的条件添项
例16 :已知a、bR+,ab且a+b=1,
求证a4+b4 18
分析:若取消ab的限制则a=b= 12时,等号成立
证明:∵a、bR+ a4+3(12)4 44a4 [(12)4]3=12a①
同理 b4+3(12)4 b②
a4+b412(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③
∵ab ①②中等号不成立 ③中等号不成立 原不等式成立
1.是否存在常数c,使得不等式 x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立?
错解:证明不等式x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立,故说明c存在。
正解:x=y得23 23,故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立。
要证不等式xx+2y+xx+2y23 ,因为x,y是正数,即证3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2 x+y)(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2 2(2x2+2y2+5xy),即2xyx2+y2 ,而此不等式恒成立,同理不等式 23xx+2y+y2x+y也成立,故存在c=23 使原不等式恒成立。
6.2已知x,y,zR+ ,求证:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z xyz
错解:∵ x2y2+y2z2+z2x2 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z 3xyz x2y2+y2z2+z2x2x+y+z 3xyz33xyz33xyz=xyz
错因:根据不等式的性质:若a 0,c 0,则ac bd,但 ac bd却不一定成立
正解: x2y2+y2z2 2x y2z,
y2z2+z2x2 2x yz2,
x2y2+z2x2 2x 2yz,
以上三式相加,化简得:x2y2+y2z2+z2x2xyz(x+y+z),
两边同除以x+y+z:
x2y2+y2z2+z2x2x+y+z xyz
6.3 设x+y0, n为偶数,求证 yn-1xn+xn-1yn
1x 1y
错证:∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y
=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
n为偶数, xnyn 0,又xn-yn 和xn-1-yn-1
同号,
yn-1xn+xn-1yn 1x-1y
错因:在x+y0的条件下,n为偶数时, xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同号,应分x、y同号和异号两种情况讨论。
正解:应用比较法:
yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
① 当x0时, (xn-yn)(xn-1-yn-1)
0,(xy)n 0
所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
0故:yn-1xn+xn-1yn 1x-1y
② 当x,y有一个是负值时,不妨设x0,
且x+y0,所以x|y|
又n为偶数时,所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1) 0
又 (xy)n 0,所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
0即 yn-1xn+xn-1yn 1x-1y
综合①②知原不等式成立
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