2015初三年级数学上学期期中重点考试题(含答案解析)
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30 分）
1. 如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ▲ ）
A． y=x2﹣1 B． y=x2+1 C． y=（x﹣1）2 D． y=（x+1）2
2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ▲ ）
A． 开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C． 顶点坐标是（1，2） D． 与x轴有两个交点
3．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 （ ▲ ）
A．3π B．4π C．5π D．6π
4．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则 等于（ ▲ ）A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D等于（ ▲ ） A．40° B．50° C．60° D．70°
6.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ▲ ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
7．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2－4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a－b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ▲ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8．二次函数y＝x2－mx＋3，当x－2时，y随x的增大而减小；当x－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为（ ▲ ）
A．8 B．0 C．3 D．－8
9．函数 与 的图象可能是（ ▲ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对 称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2＋bx－m＝0（m为实数）在－14的范围内有解，则m的取值范围是（ ▲ ）
A．m≥－1 B．－1≤m C．38 D．－1≤m8
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11.抛物线y＝(x＋1)2＋2的顶点坐标为 ▲ ．
12．当 ▲ 时，函数 +3x是关于 的二次函数.
13．抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为 ▲ ．
14．如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的 表达式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱粱部分的桥面OC共需 ▲ 秒．
15．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为 ▲ ．
16.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … －6 －1 2 3 2 …
则当x=4时，y的取值范围是 ▲ ．
17．如图，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为 ▲ ．
18. 如图，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食，小猫从点B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫所经过的最短路程是 ▲ ．
2015初三年级数学上学期期中重点考试题(含答案解析)参考答案：
一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11．__________；12．__________；13．__________；14．__________；
15．__________；16．__________；17．__________；18．__________.
三、解答题：本大题共11小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或 文字说明。
19．（6分 ）已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，4)．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)判断点B（－ ，－3）是否在此抛物线上；
(3)若图像上有两点M(x1，y1)、N（x2，y2），其中 ，则y1 y2(在横线上填“”“＝”或“”）．
20．（6分）已知抛物线
(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
21．（6分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，求木竿PQ的长度．
22. （6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，
且∠B＝∠D＝30°．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若AC＝6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．
23. （6分） 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜ ），连接MN．若△BMN与△ABC相似，求t的值；
24. （7分）如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
(1)若花园的面积为192m2， 求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
25. （8分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．
（1）求C，M两点的坐标；
（2）连接CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26. （9分）如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，该抛物线的 顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27.（10分）一种产品的进价为40元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为100万元（不含进价）．经过若干年销售得知，年销售 量y（万件）是销售单价x（元）的一次函数，并得到如下部分数据：
销售单价x（元） 50 60 70 80
年销售量y（万件） 5.5 5 4.5 4
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；当销售单价x为何值时，年利润最大？
（3）试通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于60万元．
28.（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x－1交z轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
(1)填空：点A坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位／秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位／秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位／秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
2015初三年级数学上学期期中重点考试题(含答案解析)参考答案：
一、选择题：(本大题共10 小题，每小题3分，共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A A A B A B D
二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11．(-1,2)；12． 1 ；13． 2015 ；14． 36 ；15． 9/5 ；
16． -1 ；17． ；18． .
三、解答题：本大题共11小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。
19．解：(1)∵4a=4
∴a=1
∴y=x2
(2) ∵( － )2=3≠-3
∴点B不在抛物线上
（3 ）y1＜y2
20．(1)证明：∵△=4+4*8=36＞0
∴该抛物线与x轴一定有两个交点
(2) A(4,0),B(-2,0),P(1,-9)
∴S△ABP=27
21．解：连接AC、QN ,做NR垂直于PQ 所以NR=PM=1.2m,NM=RP=0.8m
∵太阳光是平行光
∴△ABC ∽△QRN
∴AB/QR=BC/RN
即2/QR=1.6/1.2
解得QR=1.5m
∴PQ=1.5+0.8=2.3m
22. （6分）解：（1）直线CD是⊙O的切线，理由如下：
连接OC，
∵∠AOC、∠ABC分别是 所对的圆心角、圆周角，
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°，
∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°，
∴∠DCO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过O作OE⊥AC，点E为垂足，
∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°，
在Rt△AOE中，
OE=OA?sin∠OAC=6?sin60°= ，
∴ ，
∵ ，
∴ 。
23.解：分两种情况讨论：当△BMN∽△BAC时以及 当△BMN∽△BCA时，再根据BM=3t，BN=8-2t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可.t1=20/11,t2=32/23.
24. 解：（1）∵AB=xm，∴BC= .
根据题意，得 ，解得 或 .
∴x的值为12m或16m .
（2）∵根据题意，得 ，∴ .
∵ ，∴当 时，S随x的增大而增大.
∴当 时，花园面积S最大，最大值为
25. （8分）解：（1）联结PM，因A、B、M均在半圆P上，且AB=10，
∴PM=PA=PB=5，
∴OP=OB-PB=3，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OM= ，
M的坐标为（0，4），
∵正方形ABCD，
∴矩形OBCE，AB=CB=10，
∴CE=OB=8，
∴C的坐标为（8，10）；
（2）直线CM是半圆P的切线；
联结CM，CP，
由（1）可知，BM=OB-OM=10-4=6，
在Rt△CEM中，CM= ，
∵BC=10，
∴BC=CM，
∵BP=PM，CP=CP，
∴△CMP≌△CBP，
∴∠CMP=∠CBP=90°，
∴直线CM是半圆P的切线；
（3）存在；
作M关于x轴的对称点M1（0，-4），
联结M1C，与x轴交于点Q，Q为所求，
可求得M1C的解析式为： ，
当y=0时，x= ，
∴点Q的坐标为（ ，0）.
26. （10分）解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴ ，
解得： ，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）△BCM为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即顶点M坐标为（1，﹣4），
令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），
根据勾股定理得：BC=3 ，BM=2 ，CM= ，
∵BM2=BC2+CM2，
∴△BCM为直角三角形；
（3）如图1，
连接AC，
∵△COA∽△CAP，△PCA∽△BCD，
∴Rt△COA∽Rt△BCD，P点与O点重合，
∴点P（0，0）．
如图2，过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，
∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，
∴ = ，
即 = ，
∴点P1（0， ）．
如图3，过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，
∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
∴ = ，
即 = ，AP2=10，
∴点P2（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0， ），P2（9，0）．